algebra Fru: Witam! Mam problem z algebrą liniową i prosiłbym goraco o pomoc. Od zawsze wiadomo że w matematyce chodzi o rozumienie a nie uczenie sie na pamiec wiec do tego zmierzam zeby zrozumiec . Mam problem z bazą i powłoką liniową (liniową zależnośc i niezależnośc rozumiem ). A wiec do rzeczy chodzi mi głownie o zadania bo niby definicje mialem podane na wykladzie ale jezeli chodzi o rozwiazywanie zadan to kompletnie nie wiem do czego mam zmierzac i co mam zrobic.... Podam nizej kilka zadan i prosze i komentarze co z czego i dlaczego, bo ja naprawde chce to zrozumiec > 1) Zbadac czy dowolny wektor u=(x,y,z) ∊R³ da sie zapisac jako kombinacje liniową wektorów v=(1,1,0) v2−(0,1,1) v3=(1,0,1). [w tym zadaniu wiem ze trzeba ulozyc uklad rownan tylko za bardzo nie wiem jak interpretowac rozwiązanie takiego ukladu ] 2)Zbadac czy podane wektory tworza baze przestrzeni R³ v=(1,3,2) v2=(2,4,4) v3=( −1,2,2) [nie wiem do czego mam dązyc w takich przykladach ] 3)Sprawdzic czy nastepujace podzbiory Rⁿ są podrzestrzeniami wektorowymi u={(x,y,z) ∊R³ : x+y−z=0} [tutaj prosze o szersze wyjasnienie] 4)W przestrzeni R³ dane są dwa wektory u=(2,1,4) v=(5,2,1) wyznaczyc powloke liniową L(v,u) [] 5)I ostatnie, Znalesc uklad rownan liniowych opisujacych powloke liniowa L(v1,v2,v3,v4) v1=(1,−1,1,0) v2=(1,1,0,1) v3=(2,0,1,1) Bede bardzo wdzieczny za wszelka pomoc, ( jezeli kogos irytuje robienie tutaj zadan moze byc skan zeszytu cokolwiek , byleby bylo pomocne ^^ ) Pozdro i czekam na odpowiedzi

Trivial: Zadanie 1 Chodzi o to, żeby pokazać że dla dowolnego u istnieją c₁,c₂,c₃ takie że u = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ Zapisując to macierzowo: [ v₁ v₂ v₃ ][ c₁ c₂ c₃ ]^T = u Wystarczy zatem pokazać, że wyznacznik tej macierzy jest niezerowy (albo po prostu rozwiązać ten układ i wyznaczyć c₁, c₂, c₃ w zależności od parametrów x,y,z

Trivial: Zadanie 2 Baza przestrzeni U to zbiór niewspółliniowych wektorów, których kombinacje liniowe opisują każdy wektor tej przestrzeni. Interesujący fakt o bazach jest taki, że do opisania przestrzeni Rⁿ potrzebne jest n niewspółliniowych wektorów. R³ → 3 wektory bazowe OK Pozostało sprawdzić czy nie są współliniowe.

Trivial: Zadanie 3 Podprzestrzeń U wektorowa musi spełniać dwa warunki. 1) x∊U ⇒ cx ∊ U c jest dowolną stałą 2) x,y∊U ⇒ x+y ∊ U Sprawdź czy zachodzą.

Trivial: Zadanie 4 Chodzi o to, żeby wyznaczyć zbiór wszystkich wektorów postaci: c₁u + c₂v dla dowolnie wybieranych c₁, c₂. W zasadzie nie wiem czego oczekują w tym zadaniu. Chyba tylko tego, żeby napisać: L(v,u) = { c₁v + c₂u : (c₁,c₂) ∊ R² }

Trivial: Zadanie 5 A czym jest v₄?

Fru: Dzieki trivial za szybką odpowiedz juz sprawdzam czym jest v4

Fru: Nie ma tam v4 po prostu pomylilem

Trivial: Zadanie 5 L(v₁,v₂,v₃) = { c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ : (c₁,c₂,c₃) ∊ R³ } Ale jako że mamy: v₁ + v₂ = v₃ mamy: L(v₁,v₂,v₃) = { c₁v₁ + c₂v₂ : (c₁,c₂) ∊ R² } co można przedstawić macierzowo: [ u₁ u₂ u₃ u₄ ]^T = [ v₁ v₂ ] [ c₁ c₂ ]^T czyli u₁ = c₁ + c₂ u₂ = −c₁ + c₂ u₃ = c₁ u₄ = c₂