wielomian Radek: Wszystkie współczynniki wielomianu W(x)=x³−3x²+ax+b są liczbami całkowitymi. Znajdź współczynniki a i b wiedząc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x−√5 5√5−15+√5a+b=0 (√5a+b)²=(−5√5+15)² ale tym sposobem nie wyszło

Piotr 10: Jeżeli wielomian jest podzielny przez x−√5 to W(√5)=0

Radek: Czemu jest podzielny przez x+√5 ?

Radek: bo lubi być podzielny−super wytłumaczeni

Mila: Wszystkie współczynniki wielomianu W(x)=x³−3x²+ax+b są liczbami całkowitymi. w(√5)=(√5)³−3*(√5)²+a*√5+b w(√5)=5√5−15+a*√5+b=0 bo √5 jest pierwiastkiem wielomianu.⇔ a√5+b=−5√5+15 Liczby a i b są całkowite⇒ a=−5 i b=15

Radek: a√5+b=−5√5+15 skąd tu wyszło a=−5 i b=15 ?

matyk: bo pierwiastek musi "zniknąć"

Radek: (a√5+b)²=(−5√5+15)² ?

Mila: Porównaj wyrażenia z prawej i lewej. liczby a i b maja byc całkowite.

Radek: Nigdy bym na to nie wpadł..

Mila: Teraz już wpadniesz.

Radek: Pani Mileno ma Pani jeszcze chwilkę ?

Mila: Mam, pisz, nie dzisiaj to jutro odpowiem. Zobacz poprawkę wczorajszego zadania z wielomianem .

Hajtowy: Mila już śpi

Radek: Widziałem, u siebie w zeszycie napisałem poprawnie Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x)=2x⁴+4x³+ax²+bx+2 przez dwumian x−1 wiedząc, że funkcja f(x)=ax²+bx+c osiąga największą wartość dla x=3 i wynosi ona 11 ? f(x)=a(x−3)²+11 ? Nie mam pomysłu

Mila: Nic więcej w treści nie ma?

Radek: Nie.

Mila: Masz obliczone w zeszycie a=−1?

Radek: Nie mam nic obliczonego.

Radek: Jeszcze takie pytanie czy liczby pierwsze mogą być ujemne ?

Mila: A może tam jest: f(x)=ax²+bx+2 Liczby pierwsze to liczby naturalne: 2,3,5,7,11,13,17,19, itd

Radek: Przepraszam jeszcze jest podany punkt do f(x)=(0,2)

Mila: No właśnie , stąd c=2, bo f(0)=a*0+b*0+c=2⇔c=2 f(x)=a(x−3)²+11 f(0)=a*(0−3)²+11=2 9a=−9 a=−1 f(x)=−1(x−3)²+11⇔f(x)=−1(x²−6x+9)+11 f(x)=−x²+6x−9+11 f(x)=−x²+6x+2 a=−1 b=6 W(x)=2x⁴+4x³−x²+6x+2 R(1)=W(1)=2+4−1+6+2=.. posprawdzaj rachunki.

Radek: A co jeśli ta funkcja f(x) wyglądałaby tak ax²+bx+2 i nie podany byłby żaden punkt ?

Radek: ?

Mila: To ze wzoru f(x)=ax²+bx+2 mamy f(0)=a*0+b*0+2=2⇔punkt (0,2) należy do wykresu f(x)

Radek: Dziękuję za wytłumaczenie

Radek: Jednym z pierwiastków wielomianu W(x)=px³−7x²−28x+q gdzie p i q są liczbami pierwszymi jest −2,5. Znajdź pozostałe pierwiastki

	5
−2,5=−
	2

więc q=−5 albo 5 p=2 lub p=−2 ale jak to wyliczyć ?

Piotr 10:

	7
x1+x2+x3=
	p

	7
x2+x3=		+2,5
	p

	−q
x1*x2*x3=
	p

	−28
x1*x2+x1*x3+x2*x3=
	p

	−28
x1(x2+x3)+x2*x3=
	p

Proponuję skorzystać ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia

Piotr 10: Nie rozumiem co Ty w ogóle napisałeś, przeczytaj jeszcze sobie co to jest liczba pierwsza

Mila: Liczby p i q są liczbami pierwszymi, zatem wielomian ma całkowite współczynniki.

	5
x=−		jest wymiernym pierwiastkiem danego wielomianu zatem (−5) jest podzielnikiem q
	2

natomiast 2 jest podzielnikiem p⇔ stąd q=5 p=2 w(x)=2x³−7x²−28x+5 Dalej potrafisz?

Radek: Dziękuje Pani Milu,dalej już sobie poradziłem Ale skoro są liczbami pierwszymi to nie mogą być ujemne ? Wczoraj się o to pytałem.. Potrafię to dokończyć..

Piotr 10: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza

Radek: Piotr ten link to sobie mogłeś darować bo wiem co to liczba pierwsza i napisałem wyraźnie że moim zdanie q=−5 lub 5 a p=2 lub −2 ale skoro to dla Ciebie nie są liczby pierwsze to może Ty jednek przeczytaj to co w tym linku ? Pozdrawiam

Piotr 10: Sorry bardzo, ale Ty chyba nie wiesz co to jest liczba pierwsza....

Piotr 10: Jeżeli p i q są liczbami pierwszymi, to czy p=−2 lub q=−5

Radek: Wiem co to jest liczba pierwsza...zobacz mój post 21:08 ale skoro dla Ciebie 5 i 2 nie jest liczbą pierwszą to A tym czasem nie pomagasz wcale, więc proszę zostaw swoje uwagi do siebie

Radek: Pani Milu mogło by jeszcze być że 5 jest podzielnikiem q a −2 podzielnikiem p ?

Piotr 10: Czy ja piszę, że 5 lub 2 nie jest liczbą pierwszą ? Sam napisałeś, że p=2 v p=−2 oraz, że q=5 v q=−5. A przecież wiadomo, że p ⋀ q > 0..

Mila: Podzielniki mogą być ujemne. Zwykle ten ujemny znak "przypisujemy" wyrazowi wolnemu, ale to zależy od sytuacji.

Mila: Panowie, nie kłóćcie się. Wypijcie wirtualne piwko.

Radek: Zwykle a z czego to wynika ? Jest jakieś twierdzenie które o tym mówi ?

Mila: Radek, tym się przejmuj, rozwiązuj zadania, a wszystko Ci się w głowie ułoży.

Radek: Mam tak, że ja muszę zadanie zrozumieć i wiedzieć co z czego wynika dopiero mogę przejść dalej.