wielomian Radek: Dany jest wielomian P(x)=ax³−4x²+5x−2 i wielomian Q(x)=(x−b)²(x−c) znajdź współczynniki a,b,c aby wielomiany były równe Q(x)=(x−b)²(x−c) Q(x)=(x²−2bx+b²)(x−c) Q(x)=x³−cx²−2bx²+2bcx+b²x−b²c a=1 −c−2b=−4 −c=−4+2b c=4−2b 2bc+b²=5 −b²c=−2 2b(4−2b)+b²−5=0 −b²(4−2b)+2=0 8b−4b²+b²−5=0 −4b²+2b³+2=0 −3b²+8b−5=0 2b³−4b²+2=0 dodaje stronami 2b³−7b²+8b−3=0 b(1)=0 dzieląc hornerem mam : (b−1)(2b²−5b+3)=0 Δ=5²−24=1

	5−1
b1=		=1
	4

	5+1
b2=		=1,5
	4

−b²c=−2 −2,25c=−2

	8
−c=−2 c=
	9

c=2

	8
(a,b,c)=(1,1,2) lub (1;1,5;		ale odpowiedziach uwzględnili tylko pierwszą odpowiedź ?
	9

Zadanie ze zbioru A.Kiełbasy 6.4 /65

Radek: drobna pomyłka b₁=1 lub b₂=1,5 c₁=4−2b=2 c₂=4−3=1 (a,b,c)=(1,1,2) lub (1; 1,5;1) ?

Radek: ?

Radek: ?

Radek: up

ICSP: Skąd dostałeś b³ ?

Radek: −b²(4−2b)+2=0 −4b²+2b³+2=0

ICSP: no ale skoro a = 1 to w(x) = x³ − 4x² + 5x − 2 Jest to zwyczajny wielomian. Rozkładając go na czynniki dowolnym sposobem : x³ − 4x² + 5x − 2 = x³ − 2x² + x − 2x² + 4x − 2 = x(x² − 2x + 1) − 2(x² − 2x + 1) = =(x−1)²(x−2) b = 1 . c = 2

Radek: Mi wyszły dwa wyniki z czego jeden taki jak w odpowiedziach ale czemu drugi się nie zgadza ?

ICSP: Napisz mi te dwa równania które dodawałeś stornami

Radek: −3b²+8b−5=0 2b³−4b²+2=0

ICSP: Przecież to sa dwa równania z niewiadomą b. Każde można osobno rozwiązać wyznaczając b. Po co więc je dodawać ?

Mila: P(x)=ax³−4x²+5x−2 a=1,c=2 mamy: P(x)=x³−4x²+5x−2 P(1)=1−4+5−2=0 P(2)=8−4*4+5*2−2=8−16+10−2=0 P(1,5)=3,375−4*2,25+5*1,5−2=3,375−9+7,5−2≠0 b=1,5 nie jest pierwiastkiem wielomianu P(x) a zapisu , że P(x)=Q(x) wynika, że b i c są pierwiastkami P(x)

Radek: Ale czemu b ma być pierwiastkiem ?

Mila: Dlatego, że P(x)=Q(x)=(x−b)²*(x−c) a to oznacza, że b jest pierwiastkiem podwójnym P(x) i c jest pierwiastkiem pojedynczym P(X). Zadanie jest podchwytliwe. Dlatego po ustaleniu, że a=1 należało rozwiązać, jak poradził ICSP

Radek: Wyniki wyszły mi takie jak w książce tylko zastanawiało mnie czemu nie pasuje druga odpowiedź

Mila: Dobrze rozwiązywałeś, ale trzeba było sprawdzić, czy obliczone b i c spełniają dodatkowy warunek, który Ci podałam.

Radek: Właśnie tego nie wiedziałem, dziękuję !

Mila: Proszę i dobranoc.

Mila: I dobrze,że jesteś dociekliwy.

Radek: W końcu w tym roku matura Dobranoc będę jeszcze jutro i pojutrze