wcześniejsze zadanie Pana B.
KarolP: Do Bogdana
Równanie z parametrem Pan B: Wyznacz takie wartości parametru "m", dla których pierwiastki
równani: 3x3−3mx2+3x−2=0 spełniają równość (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 0.
Masz pomysł na to zadanie?
7 paź 12:53
Bogdan:
Tak, zaraz podam rozwiązanie.
7 paź 13:53
Bogdan:
a = 3, b = −3m, c = 3, d = −2.
Wzory Viete'a dla wielomianu 3 stopnia:
| | b | | 3m | |
x1 + x2 + x3 = − |
| = |
| = m |
| | a | | 3 | |
| | c | | 3 | |
x1x2 + x1x3 + x2x3 = |
| = |
| = 1 |
| | a | | 3 | |
3x
3 = 3mx
2 − 3x + 2
3x
13 = 3mx
12 − 3x
1 + 2
3x
23 = 3mx
22 − 3x
2 + 2
3x
33 = 3mx
32 − 3x
3 + 2
+ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3(x
13 + x
23 + x
33) = 3m(x
12 + x
22 + x
32) −3(x
1 + x
2 + x
3) + 6 / :3
i x
13 + x
23 + x
33 = 0
0 = m(x
12 + x
22 + x
32) − (x
1 + x
2 + x
3) + 2 i x
1 + x
2 + x
3 = m
0 = m(x
12 + x
22 + x
32) − m + 2
Z wzoru skróconego mnożenia:
(x
1 + x
2 + x
3)
2 = x
12 + x
22 + x
32 + 2(x
1x
2 + x
1x
3 + x
2x
3)
i z faktu: x
1x
2 + x
1x
3 + x
2x
3 = 1
otrzymujemy: x
12 + x
22 + x
32 = (x
1 + x
2 + x
3)
2 − 2,
uwzględniając: x
1 + x
2 + x
3 = m dochodzimy do: x
12 + x
22 + x
32 = m
2 − 2
Wracamy do: 0 = m(x
12 + x
22 + x
32) − m + 2 ⇒ m(m
2 − 2) − m + 2 = 0
Stąd: m
3 − 3m + 2 = 0 ⇒ (m − 1)
2(m + 2) = 0
Po rozwiązaniu ostatniego równania wielomianowego z niewiadomą m otrzymujemy
rozwiązanie: m = 1 lub m = −2.
Koniec
7 paź 14:15
KarolP: Szacunek.Dzięki
7 paź 14:28