algebra
PuRXUTM: Proszę o pomoc przy zadaniach z algebry dla mnie to czarna magia..., muszę je zrobić na
czwartek
1) Czy prawdą jest że każdy element Q(
√2) da się zapisać jako a+b
√2 dla pewnych a,b
należących do Q? Odpowiedź uzasadnić.
2) To samo pytanie dla Q(
3√2) (Podpowiedź: jak to jest z
3√4)
3) Sprawdzić, że odwzorowanie W: Q(
√2)∍ a+b
√2→a−b
√2 ∊ Q(
√2) jest inwolucją Q liniową.
Czy jest to inwolucja Q(
√2)−liniowa
4) Dany jest zbiór wszystkich czwórek liczb rzeczywistych (a,b,c,d). Nazwijmy (1,0,0,0)→1,
(0,1,0,0)→i, (0,0,1,0)→j, (0,0,0,1)→k
Wprowadźmy zasadę "kija" k◯j=j i◯j=k j◯k=i i
2=j
2=k
2=−1
a) Wyprowadzić z niej wzór na mnożenie dowolnych czwórek (a,b,c,d)◯(e,f,g,h)
(nie jestem pewien czy to na pewno ma być ◯ czy *
)
b) Sprawdzić, że wraz ze standardowym dodawaniem "po pozycjach" byt ten spełnia wszystkie
aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności mnożenia (są to tzw. kwaterniony).
29 paź 21:20
PuRXUTM: up
30 paź 17:42
PuRXUTM: up
30 paź 18:28
PuRXUTM: up NIKT NIE POMOŻE
30 paź 19:12
MQ: (a,b,c,d)(e,f,g,h)=ae1
2+af1i+ag1j+ah1k+bei1+bfi
2+bgij+bhik+cej1+cfji+cgj
2
+chjk+dek1+dfki+dgkj+dhk
2=ae1+afi+agj+ahk+bei−bf1+bgk−bhj+cej−cfk−cg1+chi+dek+dfj−dgi−dh1=
=1(ae−bf−cg−dh)+i(af+be+ch−dg)+j(ag−bh+ce+df)+k(ah+bg−cf+de)
Ostatecznie:
(a,b,c,d)(e,f,g,h)=(ae−bf−cg−dh, af+be+ch−dg, ag−bh+ce+df, ah+bg−cf+de)
Ale nie dam głowy czy gdzieś się nie walnąłem
30 paź 19:53
Krzysiek: a jak MQ wykonałeś te działania k◯j, i◯j itd, bo jak dla mnie coś z treścią zadania jest nie
tak...
a co do pierwszego zadania to nie taka jest definicja? Q(√2)=a+b√2 ?
30 paź 20:00
MQ: Tam jest błąd −− powinno być ki=j
30 paź 20:06
PuRXUTM:
dzięki wielkie !
a w 3 byś nie pomógł
Bo 1 i drugie już mam
Mam jeszcze piąte zadanie, które już wstawiałem ale Basia chyba źle to rozwiązała
5) Skonstruować ciało o 4 elementach (podpowiedź:elementy te muszą być postaci {0,1,a,a+1}
Zastanowić się jak powinna wyglądać tabliczka dodawania i mnożenia)
Basia przyjęła sobie że a=2 a chyba trzeba zostawić a jako zmienną (z tego co słyszałem) mam
rozwiązanie tego tylko nie rozumiem skąd się wzięło (rys)
w sumie to jest to dla mnie mniej więcej logiczne oprócz tabliczki mnożenia a konkretnie
a*a=a+1
a*(a+1)=1 (a+1)(a+1)=a po za tym dlaczego akurat tak ? możesz pomóc (oczywiście tam gdzie jest
a 1 to to oznacza a+1 nie pisałem + bo bym tego nie zmieścił )
30 paź 20:16
30 paź 20:18
PuRXUTM: up
30 paź 21:07
Krzysiek: 5)w przykłdzie 3, masz to rozpisane.
(a+1)(a+1)=a2+2a+1=(a2+a+1)+a≡mod(a2+a+1)a
a*a=(a2+a+1)−a−1≡a+1 (współczynniki wielomianu należą do Z2={0,1} )
30 paź 21:16
stef: zobacz moje czy dasz rade bo ja zgłupiałem
30 paź 21:19
PuRXUTM: Krzysiek a ile wynosi mod(a
2+a+1) to jest reszta z dzielenia a
2+2a+1 przez a
2+a+1 ?
I w całej tej tabliczce mnożenia wykorzystuję to
30 paź 21:33
Krzysiek: mod(a2+a+1) czyli reszta z dzielenia wielomianu przez a2+a+1
tak w całej. w sumie zostało Ci jeszcze a(a+1)
30 paź 21:45
PuRXUTM: czyli wzór ogólny to a*b≡a*b+mod(a
2+a+1)
30 paź 21:49
PuRXUTM: a nie, będzie chyba a*b≡a*b*mod(a2+a+1)...?
30 paź 21:52
Krzysiek: co to za dodawanie mnożenie modulo?
przykład:
9=
mod(4)1
w tym przypadku masz mod(a
2+a+1) czyli każde wyrażenie (a
2+a+1) i jego krotności 'znikają'
dlatego (a+1)
2=a
2+2a+1=
mod(a2+a+1)a
30 paź 21:55
PuRXUTM: gdyby tak było jak napisałem to dla a(a+1)≡−1 a nie 1...
30 paź 21:56
PuRXUTM: ok coś czaje dzięki
30 paź 21:57
PuRXUTM: a jak to ładnie zapisać
30 paź 21:58
Krzysiek: no tak −1 ale współczynniki tego wielomianu są w Z2={0,1}
więc −1=1mod2
30 paź 22:01
PuRXUTM: czyli ogólnie będzie że a*b=mod(a
2+a+1) chodzi mi o zdefiniowanie mnożenia
Jak jest z dodawaniem
30 paź 22:02
Krzysiek: z dodawaniem? dodajesz wielomiany i współczynniki wielomianu to reszta z dzielenia przez 2.
(1+x)+x=1+2x≡mod21
(2mod(2)=0 )
30 paź 22:10
PuRXUTM: czyli ogólnie a+b=mod2 ?
30 paź 22:11
Krzysiek: nie, to tak jakbyś napisał a+b=⬠
gdzie ⬠ to jakieś działanie.
nie wiem jak zapisać,że jest to działanie modulo 2 po współczynnikach .
ale prędzej to będzie a+b=c
gdzie c=α+βx i α,β∊Z2
30 paź 22:18
PuRXUTM: kurde już myślałem że coś zrozumiałe... nie rozumiem nadal w mnożeniu
| a2 | | a+1 | |
| =U{a2+a+1−a−1}=1− |
| to reszta nie powinna być −a−1 wiem że coś |
| a2+a+1 | | a2+a+1 | |
tam o tym pisałeś ale dalej nie czaje...
30 paź 22:30
Krzysiek: współczynniki wielomianu należą do grupy 2−elementowej i mogą być równe 0 albo 1.
przy współczynnikach masz działanie mod(2), wtedy −1=1mod2
30 paź 22:34
PuRXUTM: masakra ta algebra... dzięki za pomoc
30 paź 22:35
PuRXUTM: napiszę odp. do zadania 2.
Zakładamy że
3√4=a+b
3√2
3√22−b
3√2=a /+b
2
3√22−b
3√2+b
2=a+b
2 /(
3√2+b)
(
3√2+b)(
3√22−b
3√2+b
2)=(a+b
2) (
3√2+b)
(z lewej strony jest wzór skróconego mnożenia postaci (a+b)(a
2−ab+b) co równa się (a
3+b
3) )
2+b
3=(a+b
2) (
3√2+b) /:(a+b
2)
to po lewej jest wymierne to po prawej nie wymierne czyli sprzeczność
czyli nie da się zapisać każdego elementu Q(
3√2) jako a+b
3√2
30 paź 23:18