kombinacje liniowe QWERTY: Proszę o wytłumaczenie kiedy wektor jest kombinacją liniowa wektorów a kiedy nie. (ŁOPATOLOGICZNIE )

Krzysiek: v₁,v₂,..,v_n np. v₁ jest kombinacją liniową wektorów v₂,...,v_n gdy istnieją takie skalary α₂,...,α_n,że: v₁=α₂v₂+...+α_nv_n przykład masz sprawdzić czy ten wektor (3,5,9) jest kombinacją liniową wektorów (1,1,1),(0,2,6) (3,5,9)=α(1,1,1)+β(0,2,6) i sprawdzasz czy istnieją takie skalary,że ta równość zachodzi. wychodzi,że: α=3,β=1 zatem ten wektor jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.

MQ: Wektor b jest kombinacją liniową wektorów a₁, a₂, ... , a_n, kiedy da się znaleźć taki zestaw współczynników (skalarów) α₁, α₂, ... , α_n, że: b=α₁*a₁+α₁*a₁+ ... + α_n*a_n

QWERTY: to teraz głupie pytanie do Krzyska: Kiedy równość zachodzi?

Krzysiek: kiedy wektory są równe?

QWERTY: przykład?

QWERTY: czyli ma być takie α i β żeby (1,1,1)=(0,2,6)

Krzysiek: jaki przykład, proste pytanie kiedy jeden wektor jest równy drugiemu wektorowi, bo przecież pytasz kiedy równość zachodzi

Krzysiek: ...źle! przecież to tak jakbyś napisał,że 1=0... równość zachodzi gdy odpowiednie współrzędne są równe czyli rozwiązujesz układ równań, dla przykładu powyższego to 3=α*1+β*0 5=α+2β 9=α+6β

QWERTY: no tak ale dalej nie bardzo wiem jak to sprawdzac w zadaniu. Mam załóżmy takie zadanie mam wektory (1,2,4,3)(0,1,3,3)(1,2,1,5) i mam sprawdzic czy są one kombinacją wektora (1,1,1,1) robie z tego 1 0 1 1 2 1 2 1 0 1 −3 −1 −1 1 1 −1 i robie to metodą gaussa, to chyba jets układ sprzeczny akurat ale co ma mi wyjść przykłądowo na koniec abym mógł stwierdzic ze to kombinacja liniowa?

MQ: Chyba masz sprawdzić raczej, czy (1,1,1,1) jest kombinacją tamtych.

Krzysiek: tą macierz przekształcałeś jakoś?

QWERTY: tak, tak

QWERTY: soooooooooooooorki, nie to przepisałem z notatek 1 0 1 1 2 1 2 1 4 3 1 1 3 3 5 1 tamta to była w₃−2w₂ i w₄−2w₂

Krzysiek: no to doprowadź po postaci schodkowej i wylicz te skalary

QWERTY: i jak wyjdzie przykładowo 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 5 0 0 0 2 to wtedy jest np a=3 b=1 c=5 d=2 A jak np bedzie 1 0 1 2 1 3 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 to jest a=−c+2 b=−1/3+2 c=2 i wtedy jest to tez kombinacja

Krzysiek: jak będzie to pierwsze to jest sprzeczność, przecież masz tylko 3 wektory które w sumie mają dać nam ten 4 wektor. więc a=3,b=1,c=5 i 0=2 czyli sprzeczność, czwarty wektor nie jest kombinacją liniową tych trzech pozostałych b) tak,tylko nie też.

QWERTY: a w pierwszym jak w ostatni wektor wygladałby np tak 0022 to byłaby to kombinacja tak? a mozesz da przykłąd gdzie nie bedzie to kombinacja i nei bedzie to sprzecznosc ?

Krzysiek: nie i nie w pierwszym pytanie przecież wtedy c=5 i jednocześnie c=1... to nie jest możliwe,,, drugie pytanie, przecież gdy nie będzie kombinacją tzn,że nie istnieją te skalary więc musi byc sprzeczność...

QWERTY: czyli gdy wychodzą skalary przykłądowo a=1 b=2 c=3 to jest kombinacja a jak kombinacji nie ma tylko i wylącznie gdy jest sprzecznosć tak? w końcu załapałem?

QWERTY: