liczby zespolone Bartek: Czy wie ktoś może jak wyprowadzić wzory Moivra? Chodzi mi o to, jak dotrzeć do postaci takiego wzoru? Jakie trzeba wykonać obliczenia?

AS: Postać trygonometryczna liczby zespolonej Z = a + b*i ma postać Z = r*(cos(φ) + i*sin(φ)) gdzie r = √a² + b² Wzór Moivre'a (cos(φ) + i*sin(φ))ⁿ = cos(n*φ) + i*sin(n*φ) Dowód przez indukcję n = 1 cos(φ) + i*sin(φ) = cos(φ) + i*sin(φ) n = k (cos(φ) + i*sin(φ))^k = cos(k*φ) + i*sin(k*φ) n = k + 1 (cos(φ) + i*sin(φ))^k+1 = (cos(φ) + i*sin(φ))^k*(cos(φ) + i*sin(φ)) = (cos(k*φ) + i*sin(k*φ))*(cos(φ) + i*sin(φ)) = (cos(k*φ)*cos(φ) − sin(k*φ)*sin(φ)) + i*(sin(k*φ)*cos(φ) + sin(φ)*cos(kφ)) = cos(k*φ + φ) + i*sin(k*φ + φ) cos(k + 1)*φ + i*sin(k + 1)*φ c.n.w.

Bartek: Nie rozumiemy się. Ja dotarłem na wiki do tego dowodu. Mnie nie chodzi jednak o ten dowód tylko chodzi mi o to, jak algebraicznie dotrzeć do prawej strony tej równości. (cos(φ) + i*sin(φ))ⁿ = cos(n*φ) + i*sin(n*φ).

Mila: (cosφ+isinφ)ⁿ=(e^iφ)ⁿ=e^(inφ)=cos(nφ)+isin(nφ)

Bartek: Okej, dzięki. Choć nadal nie wiem czemu: e^(inφ)=cos(nφ)+isin(nφ) ? Ale może do tego jeszcze dojdę.

Mila: Przeczytaj postać wykładnicza liczby zespolonej.

Bartek: Właśnie czytałem jakiś czas temu jak się przygotowywałem do studiowania. Potem na jakiś czas przestałem i mi się zapomniało.

Trivial: Bardzo prosto. z₁z₂ = |z₁|*(cosφ₁ + isinφ₁)*|z₂|*(cosφ₂ + isinφ₂) = |z₁|*|z₂|(cosφ₁cosφ₂ + −sinφ₁sinφ₂ + i(cosφ₁sinφ₂ + sinφ₁cosφ₂) = |z₁|*|z₂|(cos(φ₁+φ₂) + isin(φ₁+φ₂)) No i to w zasadzie wszystko. Skoro liczby zespolone mnoży się "dodając kąty i mnożąc moduły", to liczba zⁿ = z*z*...*z = |z|*|z|*...*|z|*(cos(φ+φ+...φ) + isin(φ+φ+...φ)) = |z|ⁿ(cos(nφ) + isin(nφ)).

Bartek: Okej, dzięki, już to widzę.