Funkcje cykliczne, arc cos Adam: Proszę o rozpisanie poniższych przykładów. 1) α= sin(2 arc cos ¹₄) 2) α= ctg(arc cos ¹₃) I) Generalnie chce zobaczyć, jak usunąć ta dwójkę przed arccos w zad 1, oraz żeby skorzystać ze wzoru sin(arc sin x)=x II) W takich przykładach lepszym sposobem jest np w pierwszym zadaniu, zmiana sin na cos z jedynki trygonometrycznej, czy tez może arccos x = ^π₂ − arcsin x? III) Czy arcsin x = ¹_π−x² (słabo widać, arcsin x = 1/(π−x²) ) podstawiać, np w przykładzie drugim to by było: α= ctg(⁻³_√8) (słabo widać, α=ctg(−3/sqrt(8)), ale co dalej w takim przypadku?

Mila:

	1
1) arccos		=α, α∊<0,π>
	4

sin(2α)=2sinα*cosα

Adam: Dziękuję Mila

	1
1) arccos		=α, α∊<0,π>
	4

sin(2α)=2sinα*cosα

	1		1		1		1
α=2sin(arccos		)*cos(arccos		)=		*sin(arccos		)
	4		4		2		4

I w tym wypadku jak dalej kończyć zadanie (mam na myśli, aby sposób był łatwiejszy),

	π
sin zamienić na cos z jedynki trygonometrycznej, czy arccos x =		− arcsin x?
	2

cos z jedynki trygonometrycznej

1		1		1		1		1		15		15
	*(1−cos2(arccoss		)) =		*(1−(		)2) =		*		=
2		4		2		4		2		16		32

	π
arccos x =		− arcsin x?
	2

1		π		1		1		1		1		3		3
	*sin(		+arcsin(−		) =		*(1−		) =		*(−		) = −
2		2		4		2		4		2		4		8

	√15
Natomiast wynik ma być
	8

gdzie robię błąd?

Mila: Zaraz, za chwilę.

Mila:

1		1
	*sin(arccos		)=
2		4

1
	*√1−cos2(arccos(1/4))=
2

	1		1		√15		√15
=		√1−(1/16)=		*		=
	2		2		√16		8

II

1		π		1
	sin(		−arcsin		) tu korzystasz z wzoru sin(α−β)
2		2		4

Adam: Dziękuję bardzo

Mila: Później napiszę drugi sposób, to zerknij jeszcze.

Adam: Ok

Mila:

	1		1
sin(2arccos		)=sinα, gdzie 2arccos		=α, α∊<0,π>
	4		4

	1		α
arccos		=		/cos
	4		2

	α		1
cos		=
	2		4

	α
cosα= 2 cos2		−1 ze wzoru cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1
	2

	1
cosα=2*(		)2−1
	4

	−7
cosα=		(α−kąt rozwarty)
	8

sinα>0 dla α∊<0,π> sinα=√1−(49/64)

	√15
sinα=
	8

Mila:

	1
2) y=ctg(arccos(		) ? taki przykład?
	3

Adam: Tak

Adam: Ten drugi sposób znacznie trudniejszy od tego pierwszego. Wolę stosować ten pierwszy.

Mila:

	cos(arccos(1/3))
y=		i sin(arccos(1/3))≠0
	sin(arccos(1/3))

	1
arccos		=α
	3

	(1/3)
y=
	sin(arccos(1/3))

sin(arccos(1/3))=sinα

	1		1
arccos		=α ⇔cosα=
	3		3

sinα=√1−cos²α=√1−(1/9) sinα=√8/9

	2√2
sinα=
	3

	1   3		1		√2
y=		=		=
	2√2   3		2√2		4

Posprawdzaj założenia.

Adam: Zgadza się. Jeszcze raz bardzo dziękuję

Mila: