granice PuRXUTM: Witam mam zadanka z granic, jak zwykle Wyznacz granicę podanych niżej ciągów :

	sin2 1 + sin2 2+...+sin2 n
γn=		jak to w ogóle ruszyć
	n

Mila: Rozbij na sumę n składników.

Basia: f(x) = sin²(nx) bierzemy przedział <0;1> i dzielimy go na n równych odcinków mamy punkty ¹_n; ²_n;....;ⁿ_n sin²1 = f(¹_n) sin²2 = f(²_n) .................................. sin²n = f(ⁿ_n) zatem lim_n→+∞ γ_n = ₀∫¹sin²(nx) dx

PuRXUTM: Basia co to jest nie mam pojęcia co oznacza ostatnia linijka

Basia: Milu tak nie wolno W takim razie co by to było

	1+2+...+n		1		2		n−1		n
limn→+∞		= linn→+∞ [		+		+....+		+		]
	n		n		n		n		n

	n(n+1)
tutaj mamy łatwo bo licznik =
	2

ale z tą całką też coś sknociłam

Trivial: No Basiu, dlaczego f(x) zależy od n?

Trivial: Ja mam sposób, ale jest odrobinę pracochłonny, więc czekam aż ktoś wpadnie na lepszy. Chodzi o to żeby wykorzystać

	1−cos(2x)
sin2(x) =
	2

I policzyć sumę S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + ... + cos(nx)

	∑k=1..n sin2(k)		∑k=1..n [1 − cos(2k)]		n − Sn(2)
Wtedy γn =		=		=
	n		2n		2n

	1		Sn(2)
=		−
	2		2n

PuRXUTM: Basiu ja całek nie miałem... nie da się to rozwiązać tak sposobem na "moim" poziomie

Trivial: Milu, tak nie wolno, gdyż ilość składników zależy od n.

Trivial:

	1
Zresztą, ta granica to		.
	2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n+to+infty+of+%28Sum+from+k+%3D+1+to+n+of+sin^2%28k%29%29%2Fn

Basia: to nie jest dobrze; już napisałam, że sknociłam; całka nie może zależeć od n chyba sposób podany przez Triviala jest jedyny sensowny z twierdzenia o trzech ciągach nie pójdzie nie wiem co Wy tam mieliście na wykładach i ćwiczeniach już udowodnione

PuRXUTM: masakra jest wykłady są do tyłu, a na ćwiczeniach gość zada i mamy zrobić....

PuRXUTM: dobra idę spać dzięki za pomoc

Trivial: Można też policzyć granicę zespoloną. Interesuje nas granica:

	cos(2) + cos(4) + ... + cos(2n)
g = lim		= Re[z]
	2n

	e2i + e4i + e6i + ... + e2ni
z = limn→∞
	2n

	e2ni−1
= limn→∞e2i		= 0
	2n(e2i−1)

	1		1
Zatem g = 0, czyli limn→∞ γn =		− 0 =		.
	2		2

Mila: Tak, zmylił mnie ten kwadrat i ograniczoność sinusa. Basiu odróżniam te sumy i nigdy bym tak nie postąpiła w przykładzie ,który podałaś. Jednak tutaj na sumę w liczniku nie miałam pomysłu. Teraz mam, dzieki Trivialowi. Pewnie mieli coś takiego na ćwiczeniach, o czym my zapomnieliśmy, a przynajmniej ja.

Trivial: Ten sposób z zespoloną granicą jest szybki, ale do niego potrzebna jest pewna wiedza odnośnie liczenia granic zespolonych. Wątpię, żeby takie rozwiązanie zrozumiał PuRXUTM.

Basia: też wątpię; przecież nawet miesiąc pierwszego semestru mu jeszcze nie minął

Mila: Trivial z sumą (cosx+cos2x+.. cosnx) to dobry sposób, jednak, jeśli nie mieli podanego lub wyprowadzonego wzoru na tę sumę, to też będzie dla niego trudne.

Basia: mogli mieć przy okazji zabaw z indukcją; to jedno z podstawowych ćwiczeń zawsze było oczywiście potem nikt tego wzoru i tak nie pamięta, ale łatwo go znaleźć, a jak już się ma tę "prawą stronę" to dowód indukcyjny nie jest taki trudny

Mila: Dawniej to było w liceum. Myślę, jeszcze nie zdążyli mieć tego przy indukcji.

Basia: powinni mieć sądząc po tym co już robią z analizy w każdym razie:

	1		sin(n+12)x
cosx+cos(2x)+.....+cos(nx) =		*(		− 1)
	2		sin12x

a stąd

	1		sin(n+12)*2
cos(2)+cos(4)+...+cos(2n) =		*(		−1) =
	2		sin1

1		sin(2n+1)
	*(		− 1)
2		sin1

a to podzielone przez 2n oczywiście dąży do 0

Mila: Viribus unitis wszystko wychodzi. Dobranoc

Trivial: Dobranoc.

PuRXUTM: dziękuje ja zaangażowanie ale nie mam pojęcia co zostało zrobione...