Zadanka z roszerzenia Dzionek95: Witajcie! Jestem tegorocznym maturzystą, który porywa się na rozszerzenie z matematyki. Ostro się wziąłem i cały weekend się bawię z zadaniami czy to z podstawy czy to z rozszerzenia. Do meritum: Napotkałem zadanie z zadań typu "Udowodnij, że" (zadania roszerzone) o treści : Udowodnij, że jeśli a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy. b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x² + y² + z² ≥ 1/3. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Do podpunktu a) (x−y)²≥0 ⇒ z defninicji wzorów zawsze będzie większe(tu na 99% nie zrobiłem źle chyba, że mózg mi już siadł) Jeśli chodzi o podpunkt b) Rozwiązałem go w taki oto sposób, prosiłbym o sprawdzenie czy tak też może być x+y+z=1 x²+y²+z²≥ 1/3 ⇒ 3(x²+y²+z²)≥x+y+z ⇒ zawsze ponieważ kwadrat jakiejkowiek liczby, którą się podniesie do kwadratu da liczbę większą a w dodatku jest jeszcze przemnożona razy 3. Biorąc pod uwagę tego, że przez cały weekend zrobiłem ponad 100 zadań, kolejny fakt, że to rozszerzenie to, albo już się tak wyuczyłem, że tego typu zadania pi razy drzwi pojmuję, albo jestem już taki pomęczony, że robię jakąś głupotę i mi tak pięknie wychodzi, bo mózg mi mówi już "daj se pan spokój )

Lorak: a) jest ok b) Nie bardzo. Weź jakąś liczbę z przedziału (0;1). Kwadrat tej liczby jest od niej mniejszy. Pomyśl nad innym sposobem

PW: Odpocznij. W b) po pierwsze "wyszedłeś od tezy", a więc cokolwiek nie udowodnisz, nie będzie to

	1		1
dowodem wynikania odwrotnego.. Po drugie − nieprawda, że (		)2 >		.
	2		2

Saizou : można z nierówności o średnich np. kw≥am

	x2+y2+z2		a+b+c
√		≥		i a+b+c=1
	3		3

x2+y2+x2		1
	≥
3		9

	1
x2+y2+z2≥
	3

c.k.d

Eta:

Lorak: PW, w liceum korzystanie z tezy jest na porządku dziennym... Przynajmniej moja nauczycielka tak uważa Na tej stronie w rozwiązaniach zadań maturalnych też często korzysta się z tezy, a później dodaje komentarz, coś w stylu "wykonałem ciąg równoważnych przekształceń..."

Saizou : zawsze też można przeprowadzić dowód nie wprost, czyli zakładając że teza jest fałszywa i dochodząc do sprzeczności

Dzionek95: Nie przespałbym pół nocy, bo bym kmninił co można tutaj zrobić. Wymyśliłem coś takiego: (x+y+z)²=1 rozbije się ze wzorku i podstawi do 3x²+3y²+3z²≥x²+y²+z²+2xy+2xz+2zy na drugą stronę 2x²+2y²+2z²−2xy−2xz−2zy≥0 rozbije się każdą z osobna i poustawia ładnie: x²−2xz+z²+y²−2xy+x²+y²−2yz+z²≥0 w wyniku: (x−z)²+(y−x)²+(x−z)²≥0 ⇒ same kwadraty różnicy, pomiędzy nimi suma więc nierówność zawsze prawdziwa− chyba, że gdzieś sobie za dużo dopowiedziałem, ale powinno być gites. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Saizou− nie za bardzo rozumiem tego twierdzenia, mógłbyś to przybliżyć, albo materiały o tym podesłać. Widzę, że skraca to robotę O WIELE

PW: @Lorak, masz rację, ale większość (wierz mi) zapomina o tej formułce, a bez niej nie jest to żądany dowód, zwyczajowo, jeśli nie pisze się nic, to przyjmuje się że następne równanie (nierówność) wynika z poprzedniego. Dlatego Saizou podpowiada lepsze wyjście.

Saizou : http://pl.wikipedia.org/wiki/Nierówność_Cauchy'ego_o_średnich proszę, nie chciało mi się przeglądać pdf'ów wiec pozostała wikipedia

Lorak: I ja muszę pamiętać o tej formułce, bo często mi się zapomina

Saizou : dlatego lepiej jest zacząć od dowodu nie wprost, a jeszcze lepiej od jakiegoś powszechnie znanego faktu

Mila: Dzionek, pracuj z nami, a wkrótce wszystko będzie dla Ciebie jasne i łatwe, jak dla Saizou.

Dzionek95: Pracuj z nami? Czyt. Pomagaj innym− dobrze rozumiem ?

PW: Pomaganie innym przyjdzie z czasem, na razie będziemy się cieszyć, gdy nasze porady przyniosą efekt − lepsze zrozumienie albo odkrycie innych sposobów rozwiązań, jak to było w tym wypadku.

Dzionek95: Rozumiem, postaram się sprostać. Na tą chwilę zajmę się w/w twierdzeniem