Dane są wielomiany P i Q, wyznacz a Ewa: Wielomiany P i Q dane są wzorami: P(x) = x² − 6x −3, Q(x) = x² − 2x +4. Wiedząc, że P + a*Q jest kwadratem wielomianu stopnia pierwszego, wyznacz wartość a. Doszłam do dwóch odpowiedzi a₁= 3 i a₂ = −1¹₃, ale tylko ta pierwsza jest poprawna (sprawdzałam podstawiając do wzorów i rzeczywiście), ale nie mam pojęcia jak wykluczyć tę drugą w trakcie liczenie zadania ...

Ewa: Może napisze jak do tego doszłam: jeżeli P + a*Q = R² ( R − jakiś wielomian stopnia pierwszego) , tzn, Δ dla P + a*Q ma wartość 0 ( postać iloczynowa funkcji kwadratowej dla Δ=0, to postać "czegoś" do kwadratu ). Wykonałam działania w sumie wielomianów razem z niewiadomą i wyszło mi: x²(1+a) + x (−6−2a) + 4a − 3. Wyznaczyłam A, B i C do delty, podstawiłam i wyszły mi te dwa wyniki.

Basia: x² − 6x − 3 + ax² − 2ax + 4a = (bx+c)² (1+a)x² + (−6−2a)x + (4a−3) = b²x² + 2bcx + c² więc 1+a = b² i 4a−3=c² stąd 1+a≥0 i 4a−3≥0 co eliminuje a₂

Ewa: Mam zaćmienie: dlaczego 1+a musi być większe ≥0 ?

Basia: bo 1+a = b² a b² jak każdy kwadrat jest ≥0

Ewa: No tak... Wielkie dzięki Basiu !