Ciąg i jego podciągi xyzb: Dany jest ciąg a_n. Jego podciąg a_2n ma granicę a, podciąg a_2n+1 ma granicę b, podciąg a_3n ma granicę c. Udowodnij, że a=b=c i że ciąg a_n jest zbieżny

Basia: wśród liczb postaci 2n są również liczby postaci 3n i odwrotnie są to liczby podzielne przez 6 stąd a_6n jest podciągiem a_2n i podciągiem a_3n czyli a_6n → a i a_6n → c czyli a=c analogicznie a_3(2n+1) jest podciągiem a_2n+1 i podciągiem a_3n czyli a_3(2n+1)→b i a_3(2n+1)→c czyli b=c podział liczb naturalnych na parzyste i nieparzyste wyczerpuje zbiór N czyli każdy wyraz ciągu a_n należy albo do podciągu a_2n, albo do a_2n+1 więc skoro te dwa są zbieżne do tej samej liczby g=a=b=c to granica a_n istnieje i = g