Granica ciągu xyzb: Udowodnij, że ciąg a_n jest malejący i zbieżny, znajdź granicę: a₀=5 a_n+1=⁴√12+a_n² −−−>pierwiastek czwartego stopnia z (12 + a_n do kwadratu)

wredulus_pospolitus:

an+1
	= .... <−−− pokazujesz że malejący
an

piszesz , że ograniczony (przez 0) więc zbieżny (na mocy któregoś tam twierdzenia)

Vax: Szkicowo, a_n jest ograniczony z dołu przez 0, sprawdzamy, że a₂ < a₁ i teraz jeżeli dla pewnego n mamy a_n < a_n−1 to a_n⁴ − a_n+1⁴ = a_n−1² − a_n² > 0 skąd a_n+1 < a_n, co kończy dowód indukcyjny. Ciąg jest malejący i ograniczony z dołu, więc zbieżny do pewnego g, przechodząc z n do nieskończoności dostajemy g = ⁴√12+g² skąd łatwo dostajemy g=2.

xyzb: dlaczego stwierdzamy ze jest ograniczony z dolu przez 0?

Vax: a₁ > 0 i mamy a_n+1 = ⁴√12+a_n² > ⁴√12 > 0

xyzb: i to juz jest powod by twierdzic ze jest ograniczony akurat przez 0?

Vax: Rozumiesz co to znaczy, że ciąg jest ograniczony od dołu przez jakąś liczbę ?

xyzb: ahaa no tak