proste nierownosci maeoa: udowadnij ze wyrażenie jest prawdziwe dla dowolnych a,b ∊R. (a² −b²)² ≥ 4ab(a−b)²

maeoa: pomoze ktoś?

Kaja: Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny ((a−b)(a+b))²−4ab(a−b)²≥0 (a−b)²(a+b)²−4ab(a−b)²≥0 (a−b)²((a+b)²−4ab)≥0 (a−b)²(a²+2ab+b²−4ab)≥0 (a−b)²(a²−2ab+b²)≥0 (a−b)²(a−b)²≥0 (a−b)⁴≥0 ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych a,b∊R zatem dana nierówność również

Piotr 10: [(a−b)(a+b)]² ≥ 4ab(a−b)² (a−b)²*(a+b)² ≥ 4ab(a−b)² (a−b)²*(a+b)² − 4ab(a−b)² ≥ 0 (a−b)²[(a+b)² − 4ab] ≥0 (a−b)²[a²+2ab+b²−4ab] ≥0 (a−b)²(a−b)² ≥0 (a−b)⁴≥0 c.n.u.

maeoa: dziękuje, tak właśnie myślałam.a co w przypadku gdy mam nierówność: a² −ab+b²≥0

Kaja: a co msz zrobić z ta nierównością?

maeoa: również udowodnić ze jest prawdziwa dla dowolnych a,b ∊R

ICSP:

	1		3
zauważ ze b2 =		b2 +		b2
	4		4

maeoa: aha, czyli ze: a²−ab+¹₂b² +³₄b²≥0 (a− ¹₂b)² +³₄b² ≥0 i ta nier. jest spelniona dla dowolnych a,b ∊R

maeoa: w pierwszej linijce napisałam 1/2b² zamiast 1/4b² xD

Godzio: a² + b² ≥ 2ab ≥ ab Dla a,b jednakowych znaków, w przeciwnym wypadku nierówność oczywista

maeoa: dzięki

maeoa: mam jeszcze problem z kolejnym przykładem:

a
	≤ 13
a2+a+1

Kaja: mnozymy przez mianownik (dla kżdego a∊R przyjmuje on wartośc dodatnią) i mamy:

	1
a≤		(a2+a+1) /*3
	3

3a≤a²+a+1 a²−2a+1≥0 (a−1)²≥0 a to jest prawdziwe dla a∊R. poniewaz przekształcaliśmy w sposób równoważny więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa dla a∊R.

maeoa: aha, nie wpadła bym na to, dzięki i na to chyba tez nie wpadne :

	1		1
a2 +		≥a+
	a2		a

Kaja: przekształcamy w sposób równoważny. mnozymy obustronnie przez a² (no oczywiście tam powinno byc zał. a≠0): a⁴+1≥a³+a a⁴−a³−a+1≥0 a³(a−1)−(a−1)≥0 (a−1)(a³−1)≥0 (a−1)(a−1)(a²+a+1)≥0 (a−1)²(a²+a+1)≥0 ta ostatnia nier. jest prawdziwa bo (a−1)²≥0 oraz a²+a+1>0 (wystarczy policzyc Δ) zatem wyjściowa nier. tez jest prawdziwa

maeoa: dzięki wielkie