GAL PuRXUTM: Może mi ktoś wytłumaczyć na chłopski rozum co to przestrzeń wektorowa

Basia: czytaj i pisz czego nie rozumiesz; inaczej chyba nie da rady http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa

PuRXUTM: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_2:_Przestrzenie_wektorowe z tego czytam bo to jest wykład prawie słowo w słowo niczego praktycznie nie rozumiem... mamy zbiór V i ciało K to ciało to jest taki zbiór tylko z pewnymi założeniami tak ? jak to rozumieć

PuRXUTM: np. mam takie coś (Rⁿ,Q) jest przestrzenią wektorową (Qⁿ,R) nie jest przestrzenią wektorową

Krzysiek: a miałeś przestrzenie liniowe, grupy pierścienie ciała?

PuRXUTM: to drugie na pewno nie a pierwsze to nie jestem pewien, raczej nie

PuRXUTM: może ktoś mi wytłumaczyć to co napisałem o 21:41 ? Rⁿ to zbiór, a Q to ciało

Basia: nie mam zielonego pojęcia jak można zdefiniować przestrzeń wektorową jeżeli najpierw nie zdefiniuje się pojęcia pierścienia, potem grupy, potem ciała itd. Ciało to dowolny zbiór elementów, w którym da się zdefiniować dwa działania i który razem z tymi dwoma działaniami spełnia warunki opisane tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/Cia%C5%82o_%28matematyka%29 (możesz już nie czytać co to pierścień, bo wszystkie warunki są wypisane)

Basia: tak; Rⁿ jest przestrzenią wektorową (liniową) nad ciałem Q

PuRXUTM: grupę i ciało miałem pierścienia nie...

PuRXUTM: ale Basiu wytłumaczysz mi dlaczego jest itd ? Bo nie mam pojęcia

Basia: trzeba po kolei sprawdzić, że spełnione są te wszystkie warunki (od 1 do 8) opisane tutaj http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa są spełnione więc to jest przestrzeń wektorowa tego się nie da słowami wytłumaczyć trzeba te warunki rozpisać i wykazać, że są spełnione Q to u Was zbiór liczb wymiernych ?

Basia: będziesz sam próbować czy któryś Ci przykładowo udowodnić ? który byś wybrał ?

PuRXUTM: może (Qⁿ,R) nie jest przestrzenią wektorową jak możesz to udowodnij ja już mam na dziś dość ale napewno jutro to przeczytam

Basia: (Qⁿ,R) nie jest przestrzenią wektorową bo nie jest spełniony warunek domkniętości widocznie tak macie to zdefiniowane (bo są dwie szkoły; jedna tego wymaga; druga nie) więc oprócz tych ośmiu z linku musi być jeszcze: u,w∊Qⁿ ⇒ u+w∊Qⁿ (spełniony) u∊Qⁿ i α∊R ⇒ αu∊Qⁿ (nie jest spełniony; wystarczy przykład) u = [1,1,....,1]∊Qⁿ α=√2∊R αu = √2[1,1....1] = [√2,√2,....,√2] ∉Qⁿ

b.: > może (Qⁿ,R) nie jest przestrzenią wektorową zbiór Qⁿ jest przeliczalny, a przestrzeń wektorowa nad R jest albo jednoelementowa: {0}, albo nieprzeliczalna, bo zawiera przynajmniej kopię R jak dla mnie trochę to śmieszne stwierdzenie, że nie jest p−nią wektorową, a jak są tam zdefiniowane odpowiednie działania ?

PuRXUTM: aha czyli u to wektor, tak ? bo tak wyczytałem

Basia: tak; dlatego przestrzeń nazwano wektorową

PuRXUTM: czyli najważniejsze jest żeby sprawdzić czy jak przemnoże skalar z K przez wektor z V to będzie się ten nowy wektor mieścił w V tak ?

PuRXUTM: Basiu mam 5 zadań do zrobienia z tej kochanej algebry... pomożesz ?

Basia: sądzę, że tak chociaż chciałabym zobaczyć jaką masz definicję przestrzeni wektorowej b chciałby jeszcze wiedzieć (i słusznie) jak są zdefiniowane działania ja założyłam, że skoro nie podano inaczej mamy tradycyjne dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę, a zapis (Qⁿ,R) oznacza, że: Qⁿ jest zbiorem wszystkich wektorów n−wymiarowych o współrzędnych wymiernych R jest całym zbiorem liczb rzeczywistych ale teoretycznie może być inaczej

PuRXUTM: 1) Skonstruować ciało o 4 elementach (podpowiedź: elementy te muszą być postaci {0,1,a,a+1} Zastanowić się jak powinna wyglądać tabliczka dodawania i mnożenia) Jak to się w ogóle robi

Basia: pisz, ale po jednym, najlepiej każde w oddzielnym poście gdy wpisujecie od razu kilka, jedna osoba pisze o pierwszym, druga o czwartym itd. wszystko to się miesza i w ogóle nie wiadomo o co chodzi

PuRXUTM: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_2:_Przestrzenie_wektorowe to jest praktycznie wykład słowo w słowo

PuRXUTM: ok to wpiszę w kolejnym poście

Basia: muszą być spełnione warunki ciała http://pl.wikipedia.org/wiki/Cia%C5%82o_%28matematyka%29 skoro elementy mają być takie jak podano to może spróbować {0,1,2,3} i zdefiniować działania tak: a□b = a+b mod4 natomiast działanie ◯ opisać tabelką możliwości mamy praktycznie dwie albo a◯(a+1) = 1 albo a◯a = 1 i (a+1)◯(a+1)=1 do pierwszego pasowałoby a◯b = a*b mod5 do drugiego chyba nic przy takich określeniach działań, warunki chyba będą spełnione ale trzeba posprawdzać, bo na razie to taka przymiarka "na oko" a jak to się robi ? "na wyczucie"

PuRXUTM: a nie mogę sobie wziąść jak działania dodawanie i mnożenie

PuRXUTM: jako działania dodawanie i mnożenie

Basia: dotyczy wczorajszego: no to się zgadza Niech V będzie zbiorem niepustym wyposażonym w działanie wewnętrzne − dodawanie. (czyli u,v∊V ⇒ u□v∊V) Dane jest także ciało K oraz działanie zewnętrzne, tak zwane mnożenie zewnętrzne z lewej strony, będące odwzorowaniem zbioru K x V w zbiór V (czyli α∊K i u∊V ⇒ α◯u∊V)

Basia: możesz, ale wtedy A={0,1,2,3} nie jest ciałem bo 2+2=4∉A ani 2*3=6∉A ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem dopiero Q jest ciałem nie jest nim Z (całkowite), ani tym bardziej N, ani tym bardziej żaden podzbiór Z lub N pomijając oczywiście A={0}

PuRXUTM: czyli te kółka i kwadraty to są jakieś wymyślone działania które sam sobie definiuje, a mod co to jest to coś z resztą z dzielenia było

Basia: tak to są jakieś wymyślone działania zwykle tzw.dodawanie oznacza się kółkiem ze znakiem "+" w środku a tzw.mnożenie kółkiem ze znakiem "." w środku ale z braku odpowiednich symboli użyłam odpowiednio □ i ◯

PuRXUTM: Basiu co to jest to mod ?

Basia: wartość liczby "modulo n" to reszta z dzielenia tej liczby przez n np. 2 mod4 = 2 3 mod4 = 3 (2+3) mod4 = 1 (2+2) mod4 = 0 i tak dalej

PuRXUTM: ok rozumiem Dziękuje

PuRXUTM: a w tym moim zadaniu a≠b bo jak by tak nie było to 2*2 mod 5=4

Basia: ale mnie się zdaje, że Ty masz tylko "namalować" tabelkę no to tak: tabelka "dodawania" 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 tabelka "mnożenia" 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 4 1 3 0 3 1 4 i teraz sprawdzaj czy warunki ciała są spełnione http://pl.wikipedia.org/wiki/Cia%C5%82o_%28matematyka%29 wydaje mi się, że tak, ale krok po kroku nie sprawdzałam

Basia: ad.poprzednie nie; działania a□a i a◯a też muszą być określone

PuRXUTM: czyli nie pasuje, tak ?

Basia: może i coś nie pasuje, co konkretnie ?

Basia: będę trochę później; teraz mam tzw. obowiązki domowe

PuRXUTM: ok dzięki wielkie Basiu mi nie pasuje że w tabelce z mnożenia pojawia się 4 a mają być liczby od 0−3

Basia: masz rację nie pasuje to zróbmy inną tabelkę dla ◯ 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 1 2 3 0 3 2 1 to nie jest żadne "modulo" po prostu ustawiam to sobie tak, żeby elementem odwrotnym do a było a bo to działanie nie musi być określone jakimś wzorem nie wiem tylko czy będzie spełniona rozdzielność ◯ względem □ to trzeba sprawdzać reszta będzie w porządku