RÓWNANIE Wiesiu: Rozwiąż równanie. √x²+6x+7+√x²+10x+14=4−2x−x²

Wiesiu: proszę o jakąś wskazówkę

Hajtowy: x(x+2)+√x(x+6)+7+√x(x+10)+14=4

Wiesiu: i co dalej?:(

Piotr 10: Dla mnie to jest sprzeczność Prawa strona równania: 4−2x−x²=−x²−2x+4 Δ< 0 a <0 Więc funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne A lewa strona jest sumą wyrażeń nieujemnych

Piotr 10: Źle zauważyłem na swojej kartce przy 4 miałem minus. Więc cofam to co napisałem

Wiesiu: a więc jaki powinno być?

Piotr 10: Mi nic nie przychodzi do głowy narazie, może trzeba obustronnie pomnożyć przez jakąś liczbę?

PW: x²+6x+7 = (x−1)(x+7) ma miejsca zerowe x₁=−7 i x₂=1 x²+10x+14 ma miejsca zerowe x₃=−5−√11 i x₄=−5+√11. Obie funkcje jednocześnie przyjmują wartości nieujemne dla x∊(−∞,−5−√11]∪[1,∞). 4−2x−x² = −(x²+2x−4) ma miejsca zerowe x₅=−1−√5 i x₆=−1+√5, a więc przyjmuje wartości nieujemne dla x∊[−1−√5, −1+√5]). Równanie może mieć rozwiązania jedynie na przedziale D=[1, √5−1] (tam, gdzie istnieje lewa strona i jednocześnie prawa jest nieujemna). Funkcja g(x)=x²+6x+7 jest na D rosnąca, więc g_min = g(1) = 0, podobnie h(x)=x²+10x+14, h_min = h(1) = 25 Minimum lewej strony jest równe √g(1)+√h(1) = 5 Funkcja k(x)=4−2x−x² jest malejąca na D, więc k_max = k(1)=1. Pokazaliśmy, że lewa strona równania jest co najmniej równa 5, a prawa − co najwyżej równa 1 na przedziale D. Nie ma zatem rozwiązań na D, czyli równanie nie ma rozwiązań.