Diamentowy Indeks AGH 2013/2014 Vizer: Jako, że termin nadsyłania prac do "Olimpiady o diamentowy Indeks AGH" minął wczoraj, to zapraszam do rozwiązywania zadań w tym temacie z I etapu tej edycji LINK : http://www.diament.agh.edu.pl/images/zadania/aktualne/matematyka_2013_2014_I.pdf

Vizer: up

ciekawsky: a którego nie umiesz?

Vizer: Emm wszystkie umiem, to jest w formie podzielenia się rozwiązaniami, bo na forum pojawiały się zadania z tego konkursu, ale w okresie gdy nie można było je jeszcze rozwiązywać.

Mila: Vizer umie wszystkie rozwiązać, pytanie , które Ty umiesz?

Vizer: Najciekawsze dla mnie z tego zestawu było zadanko z geometrii oraz zadanie z kombinatoryką, ale to raczej dlatego, że zawsze miałem trudności z tym działem. Nie chciałem wstawiać tutaj rozwiązań, bo myślałem, że tegoroczni maturzyści, będą chcieli popróbować Witaj Milu

Krzysiek: Są jakieś ciekawe rozwiązania zadania 7? Czy po prostu rozpisanie na kilka przypadków i zwykłe liczenie...

Krzysiek: co do zadania 3, PuRXUTM niedawno dodał podobne zadanie.

Vizer: Co do zadania 7, rozpisywałem na przypadki, może jest coś sprytniejszego, nie wiem. A 3, to w sumie zrobiłem, ale rozwiązania nie jestem pewien.

Mila: Witam!

MQ: Dzięki Vizer za zadanka. Wyglądają na ciekawe. Nie wiedziałem, że AGH organizuje taki konkurs.

Lorak: Mogę prosić o jakąś wskazówkę do 1 zadania?

Basia: zastanów się jaką resztę z dzielenia przez 3 otrzymasz przy dzieleniu kwadratu liczby całkowitej a jaką przy dzieleniu przez 3 elementów tego zbioru

Lorak: Kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 3 da resztę 1 lub 0. Dzieląc elementy tego zbioru przez 3 dostanę resztę 2

Basia: no właśnie i tyle; gdyby tam była jakaś, która jest tym kwadratem dawałaby resztę 0 lub 1 a tam takiej nie ma bo wszystkie dają resztę 2 i koniec zabawy w rozwiązaniu dla AGH należało wykazać, że kwadraty dają resztę 0 lub 1

Lorak: I to chyba kończy dowód. Jak wpadałaś na to, żeby akurat wykorzystać podzielność przez 3 ?

Basia: Doświadczenie O podzielności przez 3 kwadratu liczby całkowitej po prostu wiem, a to,że liczba postaci 6n+2 nie da przy dzieleniu przez 3 ani reszty 0, ani reszty 1 rzuca się w oczy.

Saizou : a dałoby radę to zrobić indukcją pytam z ciekawości

Lorak: ok, dzięki za pomoc

Vizer: Ja rozpisałem to w ten sposób: Każdą liczbę całkowitą możemy przedstawić jako : 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5 Podnosząc każdą z tych liczb do kwadratu, nie otrzymamy nigdy liczby postaci 6n + 2 (6k)² = 36k² = 6 * 6k² = 6 * n + 0 (6k + 1)² = 36k² + 12k + 1 = 6(6k² + 2k) + 1 = 6 * n + 1 (6k + 2)² = 36k² + 24k + 4 = 6(6k² + 4k) + 4 = 6 * n + 4 (6k + 3)² = 36k² + 36k + 9 = 6(6k² + 6k + 1) + 3 = 6 * n + 3 (6k + 4)² = 36k² + 48k + 16 = 6(6k² + 8k + 2) + 4 = 6 * n + 4 (6k + 5)² = 36k² + 60k + 25) = 6(6k² + 10k + 4) + 1 = 6 * n + 1 Sprawdziłem każdą liczbę całkowitą, nie otrzymałem po podniesieniu do kwadratu liczby postaci 6n + 2, co należało udowodnić.

Vizer: Za to jestem ciekawy wyniku zad.3, bo tam wszystko może być

	n 2
Mój wynik to : nn −		(2n − 2), ale nie jestem go pewny, czyli zrobiłem przez zdarzenie

przeciwne, tj. wszystkich opcji mamy nⁿ, następnie zdarzenie przeciwne do dokładnie dwa puste, to dokładnie dwa zapełnione, więc wybieram dwa pudełka i obsadzam kulki tak by zawsze były tam jakieś kulki. Po odjęciu powinno wyjść to co w zadaniu. Ale czy na pewno? Nigdy nie byłem w tym dobry.

Piotr 10: Zadanie 4 identyczne jakie mam w arkuszy maturalnym, dokładnie takie ''Dana jest funkcja f(x)=5 ^{I log_0,2xI}. Narysuj wykres funkcji g(x)=f(x+2) −2 , podaj jej dziedzinę, zbiór wartości i miejsce zerowe''

Basia: to jest równoważne z czymś takim:

	n 2
wybieram te dwa pudełka:		sposoby

i teraz n kul rozmieszczam w n−2 pudełkach tak żeby żadne nie było puste rozpisz sobie to dla n = 4 będzie 14 możliwości {a,b,c} {d} {a,b,d} {c} {a,c,d} {b} {b,c,d} {a} i odwrotnie skoro pudełka rozróżnialne oraz {a,b} {c,d} {a,c} {b,d} {a,d} {c,d} {b,c} {a,d} {b,d} {a,c} {c,d} {a,b} (tu już nie podwajamy, bo "odwrotności" są) czyli 2*4+6 = 14

	4 2
no i		*14 = 6*14 = 84

a u Ciebie

	4 2
44 −		(24−2) = 44 − 6*24 − 6*2 = 28−6*24 − 6*2 =

2⁴(2⁴−6) − 12 = 16*10 − 12 więc za dużo jeżeli do jutra nie wymyślisz jak powinno być to napiszę

Vizer: Hmm a skoro kulki są rozróżnialne (anie tylko pudełka) to nie powinny to być ciągi, czyli (a,b,c) to nie to samo co (b,c,a) ?

Basia: no nie w pudełku nr 1 jest kot, zając i miś w pudełku nr 1 jest zając, miś i kot czy to jakaś różnica ?

Basia: to nie są ciągi; to są zbiory

Vizer: No może, wydawało mi się, że skoro rozróżnialne są to ma to znaczenie, dawno miałem kombinatorykę i to zadanie sprawiło mi trudność. Jeśli są to faktycznie zbiory to muszę to przemyśleć jeszcze.

Basia: no więc tak:

	n 2
(1) wybieramy dwa pudełka, które będą puste czyli

rozmieszczamy n kul w n−2 pudełkach tak, żeby żadne nie było puste mamy dwie możliwości: (2) 3 kule w jednym pudełku i w pozostałych po jednej (3) po dwie kule w dwóch pudełkach i w pozostałych po jednej (2)

	n−2 1
wybieram jedno pudełko na trzy kule		= n−2

	n 3
wybieram 3 kule do tego pudełka

pozostałe n−3 kule rozmieszczam po jednej w n−3 pudełkach (n−3)! razem:

	n 3		n 3
(n−2)*		*(n−3)! = (n−2)!

(3)

	n−2 1
wybieram pierwsze pudełko, w którym będą dwie kule		= n−2

	n 2
wybieram dwie kule do tego pudełka

	n−3 1
wybieram drugie pudełko, w którym będą dwie kule		= n−3

	n−2 2
wybieram dwie kule do tego pudełka

pozostałe n−4 kule rozmieszczam po jednej w n−4 pudełkach (n−4)! razem:

	n 2		n−2 2		n 2	n−2 2
(n−2)*		*(n−3)*		*(n−4)! = (n−2)!

ostatecznie mam

n 2		n 3		n 2	n−2 2
	*[ ((n−2)!		+ (n−2)!			] =

n 2		n 3		n 2		n−2 2
	*(n−2)!*[		+		*		]

Vizer: Hmm coś dalej się nie zgadza, dla n = 4 wychodzi 120

Basia: masz rację; nie "doprzepisywałam" z kartki w (3) to ma być jeszcze podzielone przez 2 czyli będzie

n 2		n 3		1		n 2		n−2 2
	*(n−2)!*[		+		*		*		]
				2

dla n = 4

	n 3		1		n 2		n−2 2
(n−2)!*[		+		*		*		] =
			2

	4 3		1		4 2		2 2
2!*[		+		*		*		] =
			2

	1
2*[ 4+		*6*1] = 14
	2

	4 2
no i teraz wybór tych pustych czyli		= 6

i mamy 6*14 = 84