Injekcja - definicja ViVa: Dobry wieczór, bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego taka definicja funkcji różnowartościowej jest błędna ( x₁ = x₂ ) ⇒ ( f(x₁) = f(x₂) ) ? Bardzo proszę o łopatologiczne wyjaśnienie w kontekście poprawnej definicji, tj. ( x₁ ≠ x₂ ) ⇒ ( f(x₁) ≠ f(x₂) ) ⇔ ( f(x₁) = f(x₂) ) ⇒ ( x₁ = x₂ )

PW: Pierwsze napisane zdanie jest prawdziwe w sposób oczywisty, ono nic nie definiuje, przypomina tylko fakt, że wartość funkcji jest określona w sposób jednoznaczny. Można to sobie uzmysłowić w ten sposób: jeśli x₁=x₂=a, to f(a)=f(a). Definicją różnowartościowości jest wynikanie dla wszystkich x z dziedziny: x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂), co słowami wypowiada się: różnym elementom dziedziny funkcja przyporządkowuje różne wartości. Ta druga część po "⇔" to już nie jest definicja, tylko twierdzenie, oczywiste na zasadzie tej samej wartości logicznej implikacji p⇒q oraz ∼q⇒∼p. Ktoś chciał "jednym tchem" pokazać nie tylko definicję, ale i zdanie równoważne tej definicji. Całość wypowiedzi (x₁ ≠ x₂) ⇒ ( f(x₁) ≠ f(x₂) ) ⇔ ( f(x₁) = f(x₂) ) ⇒ (x₁ = x₂) nie jest definicją różnowartościowości, lecz przypomnieniem oczywistego faktu (tautologii), że ( p⇒q ) ⇔ (∼q⇒∼p) w pewnym szczególnym przypadku.

ViVa: PW − dzięki za wyjaśnienie różnicy między tautologią, twierdzeniem i definicją, ale mógłbyś jeszcze jaśniej odnieść się do pierwszej linijki? Moim zdaniem, jeżeli x₁ = x₂, to znaczy, że mamy jeden x, no i jemu dajemy jedną wartość, czy o to właśnie nie chodzi w różnowartościowości?

PW: Nie, już o tym pisałem. Fakt, że (x₁=x₂) ⇒ f(x₁) = f(x₂) jest zdaniem prawdziwym to przypomnienie, że funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna. Po chłopsku − nie może być tak, że jednemu iksowi przyporządkowane są dwa różne igreki (nawet jeśli dla niepoznaki ten x przybrał dwa różne nazwiska x₁ i x₂).