Dowodzenie twierdzeń Ola: Wykaż, że dla każdej liczby pierwszej p>5 liczba p⁴ − 5p² +4 dzieli się przez 360.

irena_1: p∊P i p>5 a=p²−5p²+4=p⁴−4p²−p²+4=(p²−4)(p²−1)=(p−1)(p−2)(p+1)(p+2) p jest liczbą nieparzystą (bo jedyna pierwsza parzysta to 2). Parzyste więc są (p−1) i (p+1) i są to kolejne parzyste, więc jedna z nich dzieli się przez 4. Ich iloczyn dzieli się więc przez 2*4=8. p nie dzieli się przez 3. Jeśli daje w dzieleniu przez 3 resztę równą 1, to przez 3 dzielą się liczby (p−1) i (p+2). Ich iloczyn dzieli się więc przez 9. Jeśli w dzieleniu przez 3 daje resztę równą 2, to przez 3 dzielą się liczby (p+1) i (p−2). Ich iloczyn dzieli się więc przez 9. p nie dzieli się przez 5, więc jedna z liczb (p−1), (p−2), (p+1) lub (p+2) dzieli się przez 5. Więc liczba a dzieli się przez 8*9*5=360

gosc: Ta liczba ma się dzielić przez 360, czy 36?

Ola: 360

Ola: Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić dlaczego w dzielenieniu przez 3 z resztą równą 1 są liczby (p−1) i (p+2) a z resztą 2 (p+1) i (p−2)

matyk: Może na przykładzie: weźmy liczbę pierwszą równą 17: daje ona resztę z dzielenia przez 3 równą 2. Jeśli dodamy do niej 1, to 3|18 jeśli odejmiemy 2, to 3|15 zauważ, że reszty z dzielenia przez 3 to liczby 0,1,2,0,1,2,0,1,2...

Ola: Ok rozumiem. Po prostu jedna z trzech kolejnych jest podzielna przez 3. Dziękuję