Kombinatoryka PuRXUTM: Hej POTRZEBUJĘ PILNIE POMOCY Kombinatoryka, mam 9 zadań do zrobienia, jak zrobię 5 to będzie ok bo jeszcze mam zadania z analizy na jutro.... Zad1) Ile można utworzyć komisji składających się z a mężczyzn i b kobiet wybranych z grupy, w której jest c mężczyzn i d kobiet, gdzie a,b,c,d∊N, a≤c i b≤d

	c a		d b
Podobno to idzie kombinacjami		*

mógłby ktoś wytłumaczyć Resztę zadań zaraz tu wrzucę

PuRXUTM: dobra w sumie to jest w miarę logiczne...

PuRXUTM: Zad2. Mamy n rozróżnialnych kul i n szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach, tak, aby: a) dokładnie jedna komórka pozostała pusta b) dokładnie n−2 komórki pozostały puste

PuRXUTM: Zad 3. Mamy n nierozróżnialnych kul i n szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach, tak, aby: a) dokładnie jedna komórka pozostała pusta b) dokładnie n−2 komórki pozostały puste

PuRXUTM: Zad 4. Iloma sposobami można podzielić m*n przedmiotów na m zbiorów, z których każdy zawiera n elementów

PuRXUTM: up proszę bardzo mi na tym zależy !

PuRXUTM: up

Godzio: Ja już bym wolał te zadania z analizy

PuRXUTM: nie ma sprawy wrzucę zaraz

PuRXUTM: Oblicz granicę

	n!
a) limn→∞
	nn

	4n*32n−1
b) limn→∞
	(n+1)!

	9log3 n
c) limn→∞
	3n

Krzysiek: ciekawy wzory na te zadania są m−pustych komórek

n m		1
	n!∑		gdzie sumowanie jest wykonywane po wszystkich możliwych
		k1!*...+kn−m!

układach dodatnich liczb całkowitych k₁,...,k_n−m dla których: k₁+...+k_n−m=n

	n 2
dla m=1 wychodzi: n!

zad3.

n m	n−1 m

m−liczba pustych komórek

PuRXUTM:

	1
limn→∞ ∏n j=2 (1−		)
	j2

Godzio: a) 0 − to albo widać, bo to dosyć prosty przykład, albo można pokazać formalnie korzystając z faktu:

	an+1
Jeśli istnieje granica lim		= g < 1, oraz an > 0 to lim an = 0
	an

b) Prawdopodobnie 0, spróbuj zrobić to korzystając z tego faktu z a) c) Po małym przekształceniu licznika:

n2
	→ 0, co powinno być oczywiste bo funkcja wykładnicza rośnie znacznie szybciej niż
3n

dowolny wielomian

PuRXUTM: dobra Godzio, Krzysiek powrzucam zadań ile się da jak coś rozwiążecie (dacie wskazówki) będę bardzo zadowolony, i będę to rozkminiał jutro od 6.00 bo dzisiaj nie licząc tego że spałem przez dzień 1,5 godziny to cały czas się uczyłem i mam już dość

PuRXUTM: 5)Na ile sposobów można rozebrać prostopadłościan o wysokości m, którego podstawę stanowi prostokąt o bokach długości k i l, zbudowany z klm jednakowych klocków sześciennych o krawędzi 1, jeżeli wolno zdejmować po jednym klocku ( od góry) o ile nie stoi nad nim inny klocek ?

Godzio:

	1		j2 − 1		(j − 1)(j + 1)
1 −		=		=
	j2		j2		j2

Wymnażaj kolejne czynniki i zobacz jak się skracają

	1		n + 1		1
∏(1 −		) =		→
	j2		2n		2

PuRXUTM: 6)Na półce stoi 12 książek. Na ile sposobów można wybrać 5 książek z półki, tak aby nie zabierać żadnych dwóch stojących wcześniej obok siebie ?

Godzio: Pamiętam, że jeżeli sam nie posiedzisz nad zadaniami to się nie nauczysz, przez kombinowanie i błędy człowiek się uczy

PuRXUTM: 7) Przy okrągłym stole siedzi 12 rycerzy. W czasie obrad każdych dwóch siedzących obok siebie pokłóciło się. Król Artur musi posłać w misję 5 Rycerzy. Na ile sposobów może to zrobić, jeśli nie chce, aby wśród wysłanych byli jacyś kłócący się Rycerze

PuRXUTM: wiem Godzio dlatego to zrobię rano, a rano nie ma nikogo na forum więc wrzucam teraz

PuRXUTM: wiem też że jak się jest zmęczonym to za dużo nowego się nie nauczy

PuRXUTM:

	n2−3		2n		n
limn→∞ cos(n+1)!		+		*
	3√n7−n2		5n−1		n+1

PuRXUTM: lim_n→∞ √n+√n−√n−√n

Godzio: Cosinus nie wpływa na granicę.

n2 − 3		n2
	→ 0 (		− liczą się tylko najwyższe potęgi)
3√n7−n2		n3.5

2n * n		2		2n2		2
	→		(		=		)
(5n − 1)(n + 1)		5		5n2		5

Godzio:

	n + √n − n + √n
√n + √n − √n − √n =		=
	√n + √n + √n − √n

	2√n		2√n
=		→ 1 (znów najwyższe potęgi		= 1)
	√n + √n + √n − √n		√n + √n

PuRXUTM: lim_n→∞ √n(n−(√n²−1))

PuRXUTM: lim_n→∞ ⁿ√5n¹²−4n³+2n−1

Godzio: √n(n − √n² − 1)

	n2 − n2 + 1		1
n − √n2 − 1 =		=
	n + √n2 − 1		n + √n2 − 1

	1		n
√ n/(n + √n2 − 1) →		(znów to co pod pierwiastkiem:		=
	√2		n + √n2

	1
		)
	2

Godzio: Z trzech ciągów: ... ≤ ⁿ√5n¹² + 5n¹² + 5n¹² + 5n¹² = ⁿ√20n¹² → 1 ... ≥ √5n¹² − 4n³ ≥ √5n¹² − 4n¹² = √n¹² → 1 Stąd ... → 1

PuRXUTM: Niech (an)^∞_n=1 ∊(R\{0})^N będzie ciągiem zbieżnym do 0. Pokaż że lim_n→∞ (1+a_n)^1/a_n=e

PuRXUTM: Wyznacz granicę podanych niżej ciągów: a) α_n=n(log(n+3)−logn)

	n2−3		n3−1
b) βn=(		) do potęgi
	n2+1		2n−3

PuRXUTM:

	sin2 1 +sin2 2 + sin2 3+...+sin2 n
γn=
	n

	(23−1)(33−1)*...*(n3−1)
δn=
	(23+1)(33+1)*...*(n3+1)

Godzio: Oj dużo tych zadań, za dużo Proponuję Ci pokombinować samemu nad resztą, wszystkiego nie można mieć podanego na tacy

PuRXUTM: dobra więcej nie wrzucam, idę spać. Dzięki wielkie chłopaki !

PuRXUTM: wiem że dużo, a to jeszcze chyba nie jest połowa tego co mam na jutro, coś czuję że to nie studia dla mnie....

Godzio: Poziom zadań drastycznie skoczył do góry, bez teorii sobie nie poradzisz.

Godzio: A co studiujesz jeśli mogę spytać ?

PuRXUTM: tylko kiedy tej teorii się uczyć jak nie mam czasu nawet na robienie wszystkich zadań...

Godzio: A myślisz, że ja miałem ? Wszystkich zadań nigdy nie trzeba robić, jeśli robicie je na ćwiczeniach, nie ma możliwości zrobić zawsze wszystkiego

PuRXUTM: matma na UJ, na razie bez specjalności czyli chyba ogólna to się nazywa. Mamy takiego wykładowce z analizy że podobno oblewa 90% osób w 1 terminie, ogólnie nie zdaje 2\3. A ten ćwiczeniowiec podobno jest najlepszy więc może coś nas do egzaminu przygotuje

Godzio: U nas na kierunku (matma na PWr) pierwszy egzamin zdało 14 osób. Poprawka poszła trochę lepiej, teraz jest nas około 30 os. rocznika, który zaczął było jakoś 160

bezendu: To ja już się boję PWr

PuRXUTM: o matko.... nas jest 180... To chyba strzelę sobie w łeb... Bo miałem nadzieję że nie tylko ja nie ogarniam, że jakoś będzie lepiej, ale widzę że nie. Ok idę spać dzięki wielkie za pomoc Te zadania które mi ostatnio rozwiązałeś naprawdę mi dużo dały Liczę że te też

Godzio: Studiując matmę tym bardziej powinieneś siedzieć nad zadaniami do skutku . Powodzenia bezendu na co się wybierasz ?

bezendu: Automatyka i robotyka wydział elektronik.

Godzio: Kolega tam jest, jest ciężko, ale da się przejść, trzeba się systematycznie uczyć i to jest podstawa studiów, bez tego ani rusz

bezendu: Chyba jeden z najlepszych wydziałów ? Bo mechaniczny i elektryczny podobnież dużo gorzej wypadają w porównaniu z wydziałem elektroniki?

Godzio: A tego już niestety Ci nie powiem bo nie wiem

Mila: Zadanie 2) n− liczba kul, n − liczba szuflad kule i szuflady rozróżnialne a) dokładnie jedna komórka pozostała pusta Zatem w jednej szufladzie znajdą się dwie kule.

n 1
	− wybieram szufladę, która będzie pusta

n−1 1
	− wybieram szufladę do której włożę dwie kule

n 2
	−wybieram 2 kule , które włożę do jednej szuflady

(n−2)! − pozostałe szuflady "mieszam".

	n 1		n−1 1		n 2		n 2		n 2
Lącznie:		*		*		*(n−2)=n*(n−1)*(n−2)!*		=n!*

b) dokładnie n−2 komórki pozostały puste.

n n−2		n 2
	=		− wybieram (n−2) ( albo 2) szuflad, które maja być puste ( albo 2

pełne) n kul rozkładam do dwóch szuflad, tak aby żadna nie była pusta na (2ⁿ−2) sposobów. stąd:

n 2
	*(2n−2)

Mila: Zdanie 3. Mamy n nierozróżnialnych kul i n szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach, tak, aby: a) dokładnie jedna komórka pozostała pusta

n 1
	−wybieram szufladę, która ma być pusta.

po umieszczeniu po jednej kuli w każdej z (n−1) szuflad, pozostaje jedna kula, którą możemy umieścić na (n−1) sposobów stąd:

n 1
	*(n−1)=n*(n−1)

b) dokładnie n−2 komórki pozostały puste.

n 2
	− wybieram dwie szuflady, które nie będą puste

n−1 1
	− na tyle sposobów możemy rozłożyć n nierozróżnialnych kul w dwóch szufladach,

tak aby żadna nie była pusta. ooooo|oooo n kul nierozróżnialnych, dzielimy na dwa niepuste zbiory, obrazowo − stawiamy przegrodę, dla której możemy wybrać jedno miejsce z (n−1) pozycji. (rozwiąż na konkrecie np. n=5, to zrozumiesz)

	n 2		n−1 1		n 2
Stąd mamy:		*		=		*(n−1)

PuRXUTM: Dzięki Wielkie MILU ! Jesteś wspaniała ! Mi by się nie chciało tłumaczyć komuś zadanie o 1.00 w nocy

Mila: