trygonometria mw: Oblicz sumę S_n=sinx+sin2x+sin3x+···+sinnx

diego: Skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów

mw: Nie bardzo wiem jak to zrobić przy takiej ilości składników...

mw: Mógłby ktoś jakoś to zacząć Proooszę

MQ: Np. tak: e^iφ=cosφ+isinφ sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)=Im(e^ix+e^i2x+...+e^inx) i skorzystać z sumy ciągu geometrycznego.

Mila:

	x
Sn=sinx+sin(2x)+sin(3x)+···+sin(nx) /*(−2sin(		)
	2

	x
−2sin(		)
	2

	x		x		x		x
Sn=−2sin(		)*sinx−2sin(		)sin(2x)−2sin(		)sin(3x)...−2sin		)sin(nx)
	2		2		2		2

Korzystam z wzoru:

	A+B		A−B
cosA−cosB=−2sin		*sin		do kolejnych składników sumy
	2		2

	x
1)−2sin(		)*sinx=..
	2

A+B		A−B		x		3		1
	=x i		=		⇔A=		x, B=		x
2		2		2		2		2

	x		3		1
−2sin(		)*sinx=cos(		x−cos		x
	2		2		2

========================================

	x
2) −2sin(		)sin(2x)=..
	2

A−B		x		A+B		5		3
	=		i		=2x ⇔A=		x, B=		x
2		2		2		2		2

	x		5		3
−2sin(		)sin(2x)=cos		x−cos		x
	2		2		2

====================================== itd

	x
n) −2sin		)sin(nx)=..
	2

A−B		x		A+B		2n+1		2n−1
	=		i		=nx ⇔ A=		x, B=		x⇔
2		2		2		2		2

	x		2n+1		2n−1
−2sin		)sin(nx)=cos		x−cos		x
	2		2		2

==========================================

	x
−2sin(		) Sn=
	2

	3		1		5		3		2n+1		2n−1
=cos(		x−cos		x+cos		x−cos		x+...+cos		x−cos		x⇔
	2		2		2		2		2		2

	x		2n+1		1
−2sin(		) Sn=cos		x−cos		x⇔
	2		2		2

	x		(n+1)x		nx
−2sin(		) Sn=−2sin		*sin		⇔
	2		2		2

	(n+1)x   nx   sin *sin   2   2
Sn=
	x   sin   2

=====================================

mw: Dziekuję Mila! Się napisałaś.. ale rozjasniłaś mi to bardzooo

Trivial: Sposób z liczbami zespolonymi jest dużo prostszy.

	1
Sn = ∑k=1..n sin(kx) =		∑k=1..n (eikx − e−ikx)
	2i

Niech u = e^ix. Wtedy:

	1		1		un−1		u−n−1
Sn =		∑k=1..n (uk − u−k) =		(u*		−u−1		)
	2i		2i		u−1		u−1−1

	1		un+1−u		u−(n+1)−u−1
=		(		−		)
	2i		u−1		u−1−1

	1		(un+1−u)(u−1−1) − (u−(n+1)−u−1)(u−1)
=		*
	2i		(u−1)(u−1−1)

	1		un−un+1−1+u − [u−n−u−(n+1)−1+u−1]
=		*
	2i		2 − (u+u−1)

	1		(un−u−n) − (un+1−u−(n+1)) + (u−u−1)
=		*
	2i		2 − (u+u−1)

	sin(nx) − sin((n+1)x) + sin(x)
=
	2 − 2cos(x)

Trivial: A sposób MQ wygląda na jeszcze prostszy. S_n = ∑_k=1..n sin(kx) = Im[∑_k=1..n (cos(kx) + isin(kx))] = Im[∑_k=1..n e^ikx] = Im[z]

	ei(n+1)x − eix		cos(n+1)x + isin(n+1)x − cosx − isinx
z =		=
	eix−1		cosx−1+isinx

	(cos(n+1)x + isin(n+1)x − cosx − isinx)(cosx−1 − isinx)
=
	|cosx−1 + isinx|2

	(sin(n+1)x − sinx)*(cosx−1) − (cos(n+1)x − cosx)*sinx
Im[z] =
	(cosx−1)2 + sin2x

	cosx*sin(n+1)x − sinx*cos(n+1)x − sin(n+1)x + sinx
=
	2 − 2cosx

	sin(nx) − sin(n+1)x + sinx
=
	2 − 2cosx

mw: Niestety liczb zespolonych jeszcze nie miałam

Mila: To miło mw Dla wprawy oblicz sumę: S_n=cosx+cos(2x)+cos(3x)+...............+cos(nx)

Mila: Z liczb zespolonych ładnie wyprowadza się niektóre wzory trygonometryczne.

mw: Dopiero dzisiaj zobaczyłam że dostałam zadanie do rozwiązania...

	sin2n+12x		1
Wyszło mi że Sn=		−
	sinx2		2

Mila:

	x
Tak, ale w mianowniku 2sin		, pewnie zapomniałaś.
	2

Wyćwiczyłaś wzory, przyda się przy całkach trygonometrycznych.