dowód soczek: Wykaż że jeśli x + y = 2 to x³ + y³ ≥ 2

Saizou : prawdą jest że x²+y²≥0 ponad to x+y=2 x²+2xy+y²=4 x²+y²=4−2xy 4−2xy≥0 −2xy≥−4 xy≤2 x³+y³=(x+y)³−3x²y−3xy²=(x+y)³−3xy(x+y)=2³−3xy*2=8−6xy≥2 (łącząc z faktem że xy≤2) c.n.w ale coś czuję że jest inny sposób, łatwiejszy, ale już za późno na myślenie

Piotr 10: x+y=2 x=2−y (2−y)³+y³=8−12y+6y²−y³+y³=8−12y+6y² 8−12y+6y²≥2 6y²−12y+6≥0 y²−2y+1 ≥0 (y−1)²≥0 Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że nierówność końcowa jest prawdziwa, a więc nierówność wyjściowa też musi być spełniona x³+y³ ≥ 2 c.n.w

Eta: Z nierówności między średnimi: średnia potęgowa ≥ średnia arytmetyczna

	a3+b3		a+b		2
3√		≥		=		=1 /3
	2		2		2

a3+b3
	≥1
2

a³+b³≥2 c.n.u

Piotr 10: Eta a która średnia jest większa kwadratowa czy potęgowa

Janek191: x + y = 2 ⇒ y = 2 − x zatem x³ + y³ = x³ + ( 2 − x)³ = x³ + 8 − 3*4 x + 3*2 x² − x³ = 6 x² − 12 x + 8 więc f(x) = 6 x² − 12 x + 8

	12
p =		= 1
	2*6

q = f(1) = 6*1 − 12*1 + 8 = 2 oraz a = 6 > 0 dlatego ZWf = < q ; + ∞ ) = < 2; + ∞) czyli x³ + y³ ≥ 2 ckd. ========

Saizou : potęgowa ≥ arytmetyczna ≥ kwadratowa ≥ harmoniczna

Piotr 10: Ok dzięki Saizou

Eta: Ejj Saizou ........... ≥geometryczna ≥....

Saizou : tak, chodziło o geometryczną o tej myślałem a napisałem co innego

Rafał28: x + y = 2 wówczas (x + y)³ = 8 x³ + y³ + 3x²y + 3xy² = 8 x³ + y³ = 8 − 3xy(x + y) x³ + y³ = 8 − 6xy Trzeba uzasadnić, że 8 − 6xy ≥ 2, czyli, że xy ≤ 1 x + y = 2 ⇔ y = 2 − x xy = x(2−x) = −x² + 2x; parabola; ramiona skierowane w dół; wierzchołek W(1, 1). Wniosek. Zawsze xy ≤ 1