Łączność w grupie abelowej hgv: Czy byłby mi ktoś w stanie wytłumaczyć na czym polega łączność w przypadku grup abelowych? (* poniżej to symbol "o plusik") Mianowicie mam przykład x*y = x+y−3, zbiór R. Łączność udowodniłem w ten sposób: P = (x*b)*c (x+y−3) * c = (x+y−3) + z − 3 = x + (y+z−3) − 3 = x + (y*z) − 3 = a*(b*c) Dlaczego tam w miejsce tego c wstawia się c−3?

PW: a_^◯(b_^◯c) = a_^◯(b+c−3) = a+(b+c−3)−3 = a+b+c−6 (a_^◯b)_^◯c = (a+b−3)_^◯c = (a+b−3)+c−3 = a+b−3+c−3 = a+b+c−6 Korzystaliśmy z łączności zwykłego dodawania w zbiorze liczb rzeczywistych. a_^◯(b_^◯c) = (a_^◯b)_^◯c − działanie "_^◯" jest łączne. Nie ma tam żadnego "wstawiania c−3 zamiast c" − jest stosowanie definicji działania "_^◯", która mówi: chcesz wykonać działanie na elementach x i y, to dodaj je w zwykły sposób i od wyniku odejmij 3.

hgv: A jakie są zasady w przypadku mnożenia? Mam taki przykład: (X, *), X = (1, ∞), działanie: 2−x−y+xy

PW: Nie ma żadnych zasad, jest definicja działania, która mówi: wynik działania na elementach x i y z X to ich iloczyn pomniejszony o sumę i powiększony o 2 (przekształciłem definicję do postaci x_*y = xy −(x+y) +2, co na jedno wychodzi wobec własności zwykłych działań mnożenia i dodawania). Po pierwsze trzeba zbadać, czy jest to działanie wewnętrzne, to znaczy czy wynik działania też należy do X. Jest to dosyć oczywiste, gdyż dla x<1 i y<1 jest x+y < 2, −(x+y) > −2 2−(x+y0 > 0 2−(x+y) + xy > xy >0. Po tym sprawdzeniu można przystąpić do badania struktury algebraicznej (X,_*) − sprawdzania czy spełnia definicję grupy.

hgv: Dzięki za pomoc. Zrobię parę przykładów jeszcze, aby to dobrze zrozumieć.