Wymierność zuz: Czy liczba √√5+3+√√5−2 jest wymierna?

zuz: proszę chociaż o wskazówkę

PW: Oznaczmy dla krótkości zapisów (1) √5+3 = a i w konsekwencji (2) √5−2 = a−5 Mamy ocenić sumę (3) x = √a+√a−5. Zauważmy, że

	1		1		√a−√a−5
		=		=		=
	x		√a+√a−5		(√a+√a−5)(√a−√a−5)

	√a−√a−5		√a−√a−5
=		=		,
	(√a)2−(√a−5)2		5

a więc

	5
(4)		= √a − √a−5.
	x

Z (3) i (4) wynika, że

	5
x+		= √a+√a−5 − ( √a−√a−5) = 2√a,
	x

czyli po zastosowaniu (1)

	5
x+		= 2√√5+3}.
	x

Liczba po prawej stronie jest niewymierna, co łatwo udowodnić. Wynika stąd, że lewa strona jest też liczbą niewymierną, a więc x nie jest liczbą wymierną (gdyby x była wymierna, to

	5
x+		też byłaby wymierna).
	x

diego: Bardzo ładne uzasadnienie, ale strasznie długie. Może łatwiej podnieść do kwadratu i coś mówić o tym wyrażeniu.

PW: Pokaż, krytyku . W taki prosty sposób nie umiałem.

diego: Ja nie krytykuje Tylko myślę głośno czy nie da się inaczej

PW: Znam jeszcze jeden sposób, który pokażę na przykładzie x = √5−√3 x² = 5−2√5√3 + 3 x²−8=−2√5√3 x⁴−16x²+64 = 4•5•3 x⁴−16x²+4=0 Szukana liczba x jest pierwiastkiem wielomianu. Znany jest wniosek z twierdzenia Bézouta, który mówi, że jedynymi wymiernymi dodatnimi pierwiastkami tego wielomianu mogłyby być liczby 1, 2, lub 4. Sprawdzamy, że żadna z nich nie jest pierwiastkiem. Wniosek − liczba x nie jest wymierna. Przed zastosowaniem tego sposobu w omawianym zadaniu powstrzymało mnie uczucie opuchlizny w dłoniach − nieomylny znak, że rachunki będą żmudne.

daras: znam krótszą wersję: odp. nie jest

PW: Ale mówisz o krótszej wersji rozwiązania dla ostatniego przykładu, czy dla pierwszego zadania? Jeśli dla pierwszego, to chętnie ją poznam, mówię poważnie (trochę nad tym myślałem i nic lepszego nie przyszło mi do głowy).