Równanie z parametrem Pan B: Wyznacz takie wartości parametru "m", dla których pierwiastki równani: 3x³−3mx²+3x−2=0 spełniają równość (x₁)³ + (x₂)³ + (x₃)³ = 0. Robiłem to już kilkoma metodami, ale nie mogę ruszyć tego zadania... próbowałem liczyć wyróżniki dla tego wielomianu, a następnie podstawić to do gotowych wzorów na pierwiastki i podnieść do sześcianu, ale bez skutku.Inna moja metoda to coś tam grupowałem, przekształcałem, ale nie udało mi się tego zrobić... jeszcze różnymi metodami starałem się to zrobić, ale bez większych rezultatów. Wpadłem na pomysł, aby zrobić to wzorami Vete'a, ale nie potrafię tego "rozłożyć" na odpowiednie czynniki i potem podstawić współczynniki wielomianu. Uważam, że ten ostatni pomysł jest dobry, ale nie potrafię go zrealizować. Bardzo proszę o pomoc.

Pan B: Mi ktoś pomoże Niedługo sprawdzian i tego typu przykłady będą, a ja na prawdę męczę się z tym już dobre kilka godzin...

Pan B: Wczoraj udało mi się zrobić po wielu trudach te zadanie... dziękuję wszystkim tym, którzy dopingowali mnie podczas jego robienia. Na prośbę administratora tej strony zamieszczam rozwiązanie. Jestem jego autorem i wykonałem je samodzielnie. Dla ułatwienia sobie zapisu (przyspieszenia tego wszystkiego) przyjmuję, że x1, x2, x3 to odpowiednio a, b i c. No więc zaczynamy. Na początku skorzystałem ze wzorów Viete'a: (1) a + b + c = m (2) ab + ac + bc = 1 (3) abc = ²₃ Teraz gdy mamy te trzy równania, zabrałem się za wyznaczenia wyrażenia: a² + b² + c² No więc zaczynamy: (a + b+ c)² = a² + b² + c² +2(ab +ac +bc) Teraz wróćmy do wzorów Viete'a i wyraźmy wyrażenie a² + b² + c² przy użyciu współczynników wielomianu... a więc do roboty. a² + b² + c² = (a + b+ c)² − 2(ab +ac +bc) Na podstawie równania (1) i (2) wyznaczam, że (4) a² + b² + c² = m² − 2 Kolejny krok to zabranie się już za właściwe wyrażenie podane w treści zadania. Po wielu trudach wpadłem na pomysł, że do jego przedstawienia można zastosować coś jakby wzór skróconego mnożenia, podobnie jak w przypadku: a³ + b³ = ... Doszedłem do czegoś takiego: (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − ac − bc) = (po redukcji wyrazów podobnych) =a³ + b³ + c³ − 3abc Teraz przeniosłem wyrażenie −3abc ze zmienionym znakiem na drugą stronę i otrzymałem: a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − ac − bc) + 3abc Teraz na podstawie wzorów (1) − (4) wyrażam prawą część równości z użyciem współczynników wielomianu. a³ + b³ + c³ = m³ − 3m +2 W tym momencie najtrudniejsza mamy już za sobą. Wystarczy rozwiązac równanie 3 stopnia zmiennej "m"... po paru sekundach można wywnioskować, że równanie ma 2 pierwiastki, w tym jeden podwójny. Liczba m=1 jest dwukrotnym pierwiastkiem tego równania, zaś m=−2 trzecim rozwiązaniem. Dla tych wartości parametru "m" spełniony jest warunek podany w treści zadania. Dziękuję wszystkim za zapoznanie się z tym rozwiązaniem. Pozdrawiam.

KarolP: Dziś to zadanie na moją prośbę zrobił Bogdan,do wglądu na forum