Korzystając z definicji Heinego granicy niewłaściwej funkcji uzasadni podane rów Tomek: Czy ktoś może mi to wytłumaczyć jak się do tego zabrać: limx→∞(√x+1−√x−1)=0

ICSP:

	a2 − b2
a−b =
	a+b

Przyjmij a = √x+1 oraz b = √x−1

Tomek: ICSP i co dalej ciemno mam przed oczami?

PW: Jasność widzę: a²−b² = (√x+1)² − (√x−1)² = x+1 − (x−1) =2 przy odpowiednich założeniach co do x).

Tomek: przy jakich założeniach?

Antek: Student Tomek jakie maja byc x_sy pod pierwiastkiem stopnia parzystego

PW: Antek, teraz to dopiero skomplikowałeś, zaraz zapytają "co to jest x_sy", przecież nic takiego w zadaniu nie ma.

Tomek: czyli x_sy≥0

Tomek: odpowiedz do tego zadania jaka będzie?

PW: Toż ją znasz, zero. Dla ułatwienia dodam: licznik stały, mianownik dąży do nieskończoności (jest takie twierdzenie).

diego: Tylko polecenie jest uzasadnić z definicji − nie policzyć.

Tomek: ok. i jeszcze jeden przykład" limx→∞(1−x²)=−∞

Tomek: proszę jeszcze tę przykład,może w końcu to ogarnę

Tomek: może się ktoś zlituję

Tomek: źle spisałem limx→−∞(1−X²)=−∞

PW: diego ma rację, miało być z definicji. Weźmy więc dowolny ciąg x_n dążący do +∞

	2		2		2		1
f(xn) =		<		=		=		.
	√xn+1+√xn−1		√xn−1+√xn+1		2√xn−1		√xn−1

Trzeba pokazać, że dla dowolnej ε>0 |f(x_n) − 0| < ε dla dostatecznie dużych n.

	1
f(xn) <		< ε ⇔ ...
	√xn−1

Tomek: x⁻_n>0

ICSP: Widzę literówkę

PW: Tomek, nie widziałeś nigdy żadnego dowodu istnienia granicy? Masz ustalić, dla jakich n (1) f(x_n) < ε, przy czym nie idzie tu o dokładne wyliczenie tych n, ale pokazanie że dla wszystkich n > n₀ nierówność jest spełniona (n₀ może być dowolną liczbą, nie musi być koniecznie najmniejszą z możliwych). Ważne, że dla "prawie wszystkich n" nierówność (1) jest spełniona − wyrazy f(x_n) są blisko zera − tej prognozowanej granicy. Blisko zera − czyli są mniejsze niż dowolna pomyślana ε.

	1
Żeby było łatwiej pokazałem, że f(xn) <		. Jeżeli udowodnimy, że
	√xn−1

1
	< ε, to tym bardziej f(xn) < ε. Rozwiąż nierówność
√xn−1

	1
		< ε
	√xn−1

Nie moja wina, że ten edytor nie radzi sobie z symbolem pierwiastka − nie ma tam żadnej kreseczki po x, jest pierwiastek z (x_n−1)