krzywe zadanie: (x−3)²+4y²=9 bedzie to rownanie elipsy ale jak je przeksztalcic?

zadanie: (x−3)²+4^y2=9 /:9

(x−3)2		4
	+		y2=1
9		9

(x−3)2		y2
	+		=1
32		94

(x−3)2		y2
	+		=1
32		32/22

jest to rownanie elipsy dobrze?

Mila: Zgadza się.

(x−3)2		y2
	+		=1
32		(32)2

S=(3,0) a=3

	3
b=
	2

zadanie: dziekuje

zadanie: jeszcze taki przyklad: 2x²+3y+2y²=0

	3		9		9
2x2+2(y2+		y+		)−		=0
	2		16		8

	3		9
2x2+2(y+		)2−		=0
	4		8

	3		9
2x2+2(y+		)2=		/:2
	4		8

	3		9
x2+(y+		)2=		→ jest to okrag
	4		16

	3		3
S=(0,−		); r=
	4		4

dobrze?

Mila: Za chwilę. Pisz następne przykłady.

krystek: Tak

Mila: Trzeba było najpierw podzielić przez 2. Wtedy prościej.

zadanie: dziekuje

zadanie: 2x−3y²+6y=0 2x−3(y²−2y+1)+3=0 2x−3(y−1)²+3=0 2x+3=3(y−1)² /:2

	3		3		3
x+		=		(y−1)2 (ogolnie: x=		y2 tylko przesunieta)
	2		2		2

	3
jest to parabola o wierzcholku w punkcie (−		, 1)
	2

zadanie: ostatni przyklad narazie xy−x−1=0 xy=x+1/:x wtedy x≠0 bo nie moge dzielic przez 0

	x+1
y=		; x≠0
	x

	1
albo y=1+		; x≠0
	x

jest to hiperbola dobrze? mozna inaczej? np. wylaczajac x przed nawias i dzielac przez (y−1) ale wtedy y≠1 to chyba nie byloby to samo prawda?

Mila: Dobrze.

Mila: xy−x−1=0 dla x=0 nie jest spełnione równanie. hiperbola. dobrze.

zadanie: dziekuje

zadanie: {(x−2)²+(y−1)²=4

	1
{x2+(y+1)2=
	4

jak rozwiazac taki uklad rownan? mozna to odjac stronami?

Mila: Mozna .

Mila: Zbadaj odległość środków. Brak rozwiązań.

zadanie: dziekuje a gdyby byla taka sytuacja, ze dwa okregi nachodza na siebie to ile wtedy mialyby punktow wspolnych? nieskonczenie wiele czy skoczenie wiele?

zadanie: dane sa punkty A(−1,1) i B(3,−1). Znajdz zbiory punktow X, dla ktorych srodek odcinka AX lezy na okregu o srodku w punkcie (3,3) i promieniu 1. X=(x, y)

	x−1		y+1
srodek odcinka AX to punkt o wspolrzednych (		,		)
	2		2

rownanie tego okregu to: (x−3)²+(y−3)²=1 czyli teraz do rownania okregu musze podstawic wspolrzedne srodka odcinka za x podstawiam

x−1		y+1
	a za y podstawiam		tak?
2		2

wtedy wychodzi mi okrag o rownaniu (x−7)²+(y−5)²=4 i teraz okrag (x−7)²+(y−5)²=4 oraz okrag (x−3)²+(y−3)²=1 musza miec jakies punkty wspolne czyli musze rozwiazac uklad rownan? dobrze?

zadanie: ?

Mila: Dwa okręgi o jednakowych promieniach mogą mieć dwa punkty wspólne( przecinają się), jeden(styczne zewnętrznie) , o ( nie mają ), nieskończenie wiele ( współśrodkowe). O różnych promieniach podaję na rysunku.

Mila: Następne zadanie później.

zadanie: dziekuje

zadanie: 1. jakie figury przedstawiaja nastepujace rownania? a) x²+y²<4 ; jest to kolo bez brzegu b) (x−8)²+(y+1)²=0 ; jest to punkt o wspolrzednych (8, −1) tak? 2. Dany jest punkt A nie lezacy na osi Ox. Uzasadnij, ze zbior punktow X, dla ktorych odleglosc od A jest taka sama jak odleglosc od osi Ox jest parabola. Jaki punkt jest wierzcholkiem tej paraboli? A(x_a, y_a) X(x.y) B(x,0) IAXI=IBXI ale wtedy mam za duzo niewiadomych. moze inaczej to oznaczyc?

zadanie: B(x_b,0)

zadanie: Znajdz rownania prostych zawierajcych wysokosci w trojkacie o wierzcholkach A(2,1), B(−1,3) C(−2,−1). sprawdz, ze przecinaja sie one w jednym punkcie. BX o AC=0 (lub CA) CX o AB=0 (lub BA) AX o CB =0 (lub BC) gdzie X(x,y) dobrze? tylko teoretycznie ten punkt za kazdym razem jest inny

zadanie: mozna tez znalezc prosta AB i potem prosta przechodzaca przez punkt C i prostopadla do prostej AB i analogicznie do pozostalych ale szukam szybszego sposobu

Mila: A=(a,b) X=(x,y) B=(x,0) √(x−a)²+(y−b)²=|y| /² x²−2ax+a²+y²−2by+b²=y² x²−2ax+a²+b²=2by

	x2		a		a2+b2
y=		−		*x+		parabola
	2b		b		2b

	a		2		a
xw=		:		=		*b=a
	b		2b		b

	b
Yw=
	2

Dla A=(3,2) masz

	1		3		9+4
y=		x2−		x+
	4		2		4

(x_w,y_w)=(3,1)

zadanie: dziekuje

zadanie: jezeli to mozliwe to prosilbym rowniez o sprawdzenie pozostalych zadan

zadanie: jezeli chodzi o to zadanie to nie wiedzialbym, ze takie rownanie przedstawia parabole jest co prawda x² potem x i wyraz wolny ale za duzo tych ulamkow

Mila: Dla ustalonego punktu A, jego współrzędne traktujesz jak stałe. Zadanie z 19:07. Nie rozumiem po co tam dany jest punkt B Czy całą treść zapisałeś?

zadanie: tresc jest dobra tylko ten punkt B byl do innych podpunktow potrzebny a w tym wlasnie nie wiem do konca jak to obliczyc?

Mila: S=(x_s,y_s)

	x−1
xs=		,
	2

	y+1
ys=
	2

Okrąg (x−7)²+(x−5)²=2² jest zbiorem szukanych punktów jako jednokładny do okręgu (x−3)²+(y−3)²=1 w skali k=2 , względem punktu A Z treści zadania wynika, że AX₁=2AS₁ AX₁^→=2AS₁^→ Analogicznie : AX₂^→=2AS₂^→ k=2 , Punkt A −środek jednokładności

zadanie: dziekuje

zadanie: czy dobrze jest zadanie 1 z godziny 22:19? i jakas podpowiedz do zadania z 23:29?

Mila: Zadanie1) dobrze. Następne zadanie ( nie zauważyłam go wcześniej), później. Teraz mam kolację. Może napisz te równania, to porównam ze swoim rozwiązaniem.

zadanie:

	2		7		3
AB: y=−		x+		; prosta C: y=		x+2
	3		3		2

	1		3
BC: y=4x+7; prosta A: y=−		x+
	4		2

	1
AC: y=		x; prosta B: −2x+1
	2

chcialem zrobic jakos z wektorami, zeby bylo szybciej ale zrobilem z prostymi dluzej ale jak sie nie wie inaczej to lepiej dluzej niz sie zastanawiac bo nie ma czasu

Mila: A(2,1), B(−1,3), C(−2,−1). z przecinaja sie one w jednym punkcie. AC^→=[−4,−2] i BX^→=[x+1,y−3] AC^→◯ BX^→=[−4,−2]◯[x+1,y−3]=0 (wektory prostopadłe− iloczyn skalarny=0)⇔ −4x−4−2y+6=0 ⇔y=−2x+1 AB^→=[−3,2] i CY^→=[x+2,y+1]

	3
AB→◯CY→=[−3,2]◯[x+2,y+1]=−3x−6+2y+2=0⇔ y=		x+2
	2

BC^→[−1,−4], i AZ^→[x−2,y−1] BC^→ ◯AZ^→[−1,−4] ◯ [x−2,y−1]=0⇔−x+2−4y+4=0

	−1		3
−x+6=4y ⇔y=		x+
	4		2

Punkt przecięcia :

	3		−2		4
−2x+1=		x+2⇔x=		y=1
	2		7		7

	−1		3
−2x+1=		x+
	4		2

dokończ.

zadanie:

	2		11
x=−		, y=
	7		7

dziekuje

zadanie: i juz ostatnie na dzisiaj zadanie 2013 i−1 ∏ ∏ (pj{j}−pi{i}) i=2 j=1 jak rozpisac taka liczbe? tam jest pierwiastek jotego stopnia z j minus pierwiastek itego stopnia z i

zadanie: ?

zadanie: moglbym prosic o rozpisanie?

Mila: i=2, to j=1 masz czynnik (1−√2) i=3 to j=1do2 masz czynniki (1−³√3)*(√2−³√3) i=4 to j=1 do 3 masz czynniki: (1−⁴√4)*(√2−⁴√4)*(³√3−⁴√4) ale zauważ, że ⁴√4=√2 czyli środkowy czynnik jest równy 0 i cały iloczyn jest równy 0 (1−√2)*(1−³√3)*(√2−³√3)*(1−⁴√4)*(√2−⁴√4)*(³√3−⁴√4) * ...=0 Jednak nie wiem, czy nie mam pomyłki, sprawdzaj z wykładem i tym co napisałam, może [Z[Godzio ]]tu spojrzy jest na bieżąco z tym materiałem.

zadanie: dziekuje

Mila: Miałeś już kolokwium?

zadanie: z analizy to juz 2 mialem mam co tydzien

cyco: Mila, ubek czy patriota?

zadanie: nie bylo pomylki dziekuje

zadanie: a jak obliczyc ile jest czynnikow w takim iloczynie? da sie?

Mila: Masz ciąg arytmetyczny 1+2+3+ .. n n − oblicz ile czynników dla i=2013. Zaliczyłeś kolokwia?

Mila: Do następnych zadań, załóż nowy wątek. Tu trzeba przewijac.

zadanie: troche nie rozumiem wyrazow w tym ciagu jest 2013 jezeli n=2013 u nas trzeba uzbierac odpowiednia liczbe punktow ze wszystkich kolokwiow nie ma bezposredniego zalczenia jednego kolokwium do tej pory mam w sumie 13 punktow na 20

Mila: Wg mnie n=2012 Gratulacje, 13 punktów/20 pkt , to nieźle jak na początek.

zadanie: