Uzasadnij, że.... Mateusz: Uzasadnij, że 1+√2 jest liczbą niewymierną.

AS: Zakładam,że 1 + √2 jest liczbą wymierną tj 1 + √2 = = p/q Kwadratuję obie strony 1+ 2*√2 + 2 = p²/q² 2*√2*q² = p² − 3*q² Ponownie kwadratuję 8*q⁴ = (p² − 3*q²)² Lewa strona dla dowolnego q będzie zawsze parzysta. Przypadek 1 p parzyste , q nieparzyste Wtedy p² będzie parzyste , 3*q² nieparzyste p² − 3*q² nieparzyste i jej kwadrat również nieparzysty. Nie może zajść równość Przypadek 2 p nieparzyste , q parzyste Wtedy p² będzie nieparzyste , 3*q² parzyste p² − 3*q² nieparzyste i jej kwadrat również nieparzysty. Nie może zajść równość Przypadek 3 p nieparzyste , q nieparzyste Wtedy p² będzie nieparzyste , 3*q² nieparzyste p² − 3*q² nieparzyste i jej kwadrat również nieparzysty. Nie może zajść równość Dochodzę do sprzeczności z założeniem

PW: Przypuśćmy, że dla pewnych całkowitych p i q

	p
1+√2 =
	q

	p−q
√2 =		∊W
	q

Oznaczałoby to, że √2 jest liczbą wymierną, co jak wiadomo nie jest prawdą (jest to fakt powszechnie znany, możemy z tego skorzystać).

Mila: x=1+√2 x−1=√2 /² x²−2x+1=2 x²−2x−1=0 Lewa strona równania jest wielomianem o całkowitych współczynnikach . Jeśli wielomian posiada pierwiastki wymierne to są podzielnikami (−1) W(−1)≠0 w(1)≠0 w(1+√2)=1+2√2+2−2−2√2−1=0 (1+√2) jest pierwiastkiem w(x) i nie należy do zbioru liczb wymiernych.