własności funkcji
Michał: 1.Określ dziedzinę oraz monotoniczność, parzystość i różnopostaciowość funkcji
a) f(x)=x
b) f(x)=−3
d) f(x)= x
3
e) f(x)=(x−2)
2
g) f(x)=lx−3l+1
h) f(x)=−2x
2+6x−2
i) f(x)=
√2x+1−5
PW: f) Zbadajmy różnowartościowość. Funkcja
nie jest różnowartościowa, jeżeli istnieją w jej
dziedzinie dwie różne liczby x
1 i x
2, takie że
(1) f(x
1) = f(x
2).
√2x1+1 − 5 =
√2x2+1 − 5
(2)
√2x1+1 =
√2x2+1.
Pierwiastek z dowolnej liczby (o ile istnieje) jest liczbą nieujemną, a więc równość (2) jest
równoważna równości
2x
1+1 = 2x
2+1
a ta równoważna równości
2x
1=2x
2
x
1=x
2.
Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że x
1≠x
2, a więc równość (1) jest fałszywa.
Pokazaliśmy, że zdanie "funkcja f nie jest różnowartościowa" jest fałszywe, zatem f jest
różnowartościowa.
Uwaga. Podnosząc równość (2) stronami do kwadratu korzystaliśmy z różnowartościowości funkcji
g(u)=u
2 dla u≥0. Zakładamy, że jest to fakt znany z wcześniejszej nauki.
Jeżeli już wiemy, że f jest różnowartościowa, można przystąpić do badania, czy jest
monotoniczna. Dowód jest niemal identyczny − korzystamy z monotoniczności funkcji x
2 na
przedziale [0,
∞).
O parzystości tej funkcji nie ma co mówić, bo pojęcie to jest zdefiniowane dla funkcji, których
dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem 0. Tutaj dziedziną jest przedział wyznaczony
warunkiem istnienia pierwiastka:
| | 1 | | 1 | |
2x+1≥0 ⇔ x≥− |
| ⇔ x∊(− |
| , ∞), |
| | 2 | | 2 | |
a więc pytanie o parzystość jest niesensowne − nie jest spełniony warunek definicji.
