ciąg lola: rozwiązanie rekurencji/postać jawna f.tworzącej cg a_n=4a_n−1 − 4a_n−2 a₀=6 a₁=8 no to a_n=qⁿ qⁿ=4q−4 q=2 zatem a_n=a*2ⁿ + b*2ⁿ a₀=a+b a₁=a+b widać że coś nie tak , pomoże ktoś ?

Godzio: Głowy nie dam, ale przy jednym podwójnym pierwiastku był inne schemat rozwiązywania tego

lola: czy to (a+bn)q₀ⁿ ?

Godzio: No to jest już bardziej sensowne

lola: wtedy a₀=a a₁=(a+b)*2 stąd a=6 12+2b=8 6+b=4 b=−2 a_n=4*2ⁿ ?

Godzio: a_n = (6 − 2n) * 2ⁿ

lola: racja; dziękuje a teraz poziom hard czyli znaleźć równanie rekurencyjne definiujące cg a_n=(1+sqrt2)ⁿ + (1−sqrt2)ⁿ gdzie n=0,1,... tylko jak to zacząć ...?

lola: obliczyć najpierw a₀ czy a₁ ? nie bardzo wiem o co chodzi

lola: a₀=a₁=2

lola: hm?

lola: up

Godzio: No ... Trzeba kombinować

lola: Godzio koleszko poradź coś

Vax: a_n+2 = 2a_n+1+a_n gdzie a₀ = a₁ = 2.

lola: dziekuję bardzo; tylko jak na to wpadłeś ? teraz to i ja to widzę

Vax: Szukamy trójmianu kwadratowego o pierwiastkach 1+√2 , 1−√2, a ze wzorów Viete'a od razu wynika, że jest to np x²−2x−1. (Bo x₁+x₂ = 2 , x₁*x₂ = −1)

Godzio: A ja tu się głowię i rozwiązania nie mogę wpaść, a to przecież takie oczywiste

lola: cg sie nam zamienił na f. kwadratową ? nie wiem tylko jak to sie ma do tego ze te nasze pierwiastki sa do potegi n wyjaśnisz jeszcze jaśniej ?

Vax: Przyjrzyj się algorytmowi rozwiązywania równania rekurencyjnego postaci: a_n+2 = Aa_n+1 + Ba_n równaniem charakterystycznym danego równania jest t²−At−B = 0, jeżeli t₁,t₂ są jego pierwiastkami, to (dla t₁ ≠ t₂): a_n = X*t₁ⁿ + Y*t₂ⁿ dla pewnych współczynników X,Y. W naszym zadaniu postępujemy po prostu od końca

lola: Vax mistrzu dzięki bardzo na dzisiaj koniec tych zadań pozdrawiam