indukcja matematyczna t: Indukcja matematyczna Korzystajac z zasady indukcji udowodnic, ze dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 5ⁿ⁺¹+ 2 · 3ⁿ + 1 jest podzielna przez 8 Skorzystam z własności liczb, jeśli iloraz m/n dla m,n ∊ Z dają resztę równą 0 to m jest podzielne przez n. 1. Baza indukcyjna (5² + 2*3 + 1)/8 = 32/8 = 4 2. Krok indukcyjny (tutaj potrzebuje pomocy) Weźmy dowolną n ∊N i załóżmy, że 5ⁿ⁺¹+2 · 3ⁿ + 1/8 ∊ Z jest prawdziwe. Liczbę 5ⁿ⁺² + 2 · 3ⁿ⁺¹ +1 można wyrazić w postaci 125k + 2*9^k + 1 = CO DALEJ? Myślałem nad tym długo ale nie wiem

wredulus_pospolitus: a w życiu od kiedy 5ⁿ⁺² = 125ⁿ ?

Basia: Tw. 5ⁿ⁺¹ + 2*3ⁿ + 1 = 8*k k∊C krok 1 n = 1 L = 5²+2*3¹+1 = 25+6+1 = 32 = 8*4 krok 2 Z_i: 5ⁿ⁺¹ + 2*3ⁿ + 1 = 8*k k∊C T_i: 5ⁿ⁺² + 2*3ⁿ⁺¹ + 1 = 8*m m∊C dowód: 5ⁿ⁺² + 2*3ⁿ⁺¹ + 1 = 5ⁿ⁺² + 2*3*3ⁿ + 1 = 5ⁿ⁺² + 3*(8k − 5ⁿ⁺¹ − 1)+1 = 5*5ⁿ⁺¹ + 3*8k − 3*5ⁿ⁺¹ − 3+1 = 2*5ⁿ⁺¹ − 2 + 3*8k = 2(5ⁿ⁺¹ − 1) + 3*8k i teraz wypadałoby udowodnić, że 5ⁿ⁺¹ − 1 jest podzielne przez 4 krok 1 n = 1 5²−1 = 24 = 4*6 krok 2 Z_i: 5ⁿ⁺¹ − 1 = 4k T_i: 5ⁿ⁺² − 1 = 4l dowód: 5ⁿ⁺² −1 = 5*5ⁿ⁺¹ − 1 = 5(4k+1) − 1 = 20k + 5 − 1 = 20k +4 = 4(5k+1) = 4*l udowodnione wracamy do poprzedniego 2(5ⁿ⁺¹ − 1) + 3*8k = 2*4l + 3*8k = 8l + 3*8k = 8(l+3k) = 8m c.b.d.u. elegancko będzie jeżeli najpierw udowodnisz lemat 5ⁿ⁺¹ − 1 = 4k a potem już "ciurkiem" przeprowadzisz pierwszy dowód indukcyjny