eh analiza PuRXUTM: hej potrzebuje jak zwykle pomocy z milionem zadań, z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc https://www.dropbox.com/s/620776wsat15eky/Zdj%C4%99cie%2016.10.2013%2C%2021%2032%2003.jpg 31, 32, 39 i 5 następnych, potem 53, 55, 56 i potem następne dowolnie chyba jak pomożecie choćby w jednym będę bardzo szczęśliwy, szczerze jeszcze je nie ruszałem bo robie teraz inne, ale zaraz zacznę na to patrzyć bo mam to mieć zrobione na jutro, a wrzucam od razu dlatego bo ten gościu jest chory i daje zadania domowe z tego czego jeszcze nie przerabialiśmy...

Godzio: Chętnie pomogę, ale chciałbym widzieć jakieś zaangażowanie Popatrz chociaż na te zadania i powiedz, których NA PEWNO nie ruszysz, wtedy mogę je zrobić.

PuRXUTM: ok, wiem jak to wygląda ale serio się staram z tej matmy

PuRXUTM: na pewno nie ruszę 31, 32 bo słyszałem że to z pochodnych chyba trzeba a tego nie mieliśmy jeszcze

PuRXUTM: 55 56 też nie wiem

Godzio: Żadnych pochodnych do tego nie trzeba Dobra, pomęczę się tam, pisać Ci też pełne wyjaśnienia itd ?

PuRXUTM: na razie ogólnie żebym wiedział jak ruszyć, jak dalej nie będę ogarniał to wtedy objaśnienia

Godzio: Dobra, bądź cierpliwy

PuRXUTM: przy matmie nie ma innej opcji

Godzio: Injekcja − funkcja różnowartościowa tzn. różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości Formalnie: (∀_x1,x2∊X)(x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)) Surjekcja − funkcja "na" tzn. każdy element przeciwdziedziny (element z Y) jest wartością funkcji Formalnie: (∀_y∊Y)(∃_x∊X) y = f(x) Obraz zbioru A to: f[A] = {f(x) : x ∊ A} Przeciwobraz zbioru B: f⁻¹[B] = {x ∊ X: f(x) ∊ B} Zadanie 31 ℛ² ∍ (x,y) → (x² − y,y) ∊ ℛ² Weźmy sobie x = y = 1 wtedy f(1,1) = (0,0), teraz weźmy x = −1, y = 1 ⇒ f(−1,1) = (0,0) Pokazaliśmy, że dla dwóch różnych par otrzymaliśmy tę samą wartość f(−1,1) = f(1,1), wniosek: funkcja nie jest injekcją. Funkcja nie jest surjekcją, ponieważ nie istnieje para (x,y) taka, że f(x,y) = (−1,0) Zadanie 32 ℛ² ∍ (x,y) → (x − logy,y) ∊ ℛ² Funkcja jest injekcją, dowód: Jeśli (x₁,y₁) ≠ (x₂,y₂) to f(x₁,y₁) = (x₁ − logy₁,y₁) ≠ (x₂ − logy₂,y₂) = f(x₂,y₂) (współrzędne na drugim miejscu są różne) Funkcja za to nie jest surjekcją ponieważ nie istnieje para (x,y), taka że f(x,y) = (1,−1), ponieważ logy wymusza na nas, żeby y > 0, więc na drugiej współrzędnej nie otrzymamy liczby ujemnej Zadanie 39

	⎧	6x − 112x − 4, x ≠ 2
f(x) =	⎨
	⎩	3, x = 2

6x − 11		6(x − 2) + 1		1   2
	=		=		+ 3
2x − 4		2x − 4		x − 2

Asymptota: x = 2 i y = 3 Funkcja jest injekcją, wynika to z różnowartości funkcji wymiernej (dowód jest prosty) i jest surjekcją, f(x) dla x ≠ 2 przyjmuje wszystkie wartości prócz 3, 3 natomiast przyjmuje da x = 3 więc f(x) przyjmuje każdą wartość rzeczywistą Pokazaliśmy, że f jest bijekcją, zatem wyznaczmy funkcję odwrotną:

	1		1		1
y =		+ 3 ⇔		= 2x − 4 ⇔ x =		+ 2
	2x − 4		y − 3		2y − 6

	⎧	12x − 6 + 2 dla x ≠ 3
f−1(x) =	⎨
	⎩	2 dla x = 3

Zadanie 53 f(x) = log₄(2x), g(x) = 8^{x − 1}

	1
h = f o g = f(g) = log4(2g(x)) = log4(2 * 8x − 1) =		log2(21 * 23x − 3) =
	2

	1		1		3
=		* log223x − 2 =		(3x − 2) =		x − 1
	2		2		2

Przeciwobraz się łatwo wyznacza z takich funkcji, wystarczy wstawić za y końce przedziału (mamy funkcję ciągłą i różnowartościową)

	3		2
−2 =		x − 1 ⇒ x = −
	2		3

	3		10
4 =		x − 1 ⇒ x =
	2		3

	2		10
h−1([−2,4]) = [−		,		]
	3		3

Zadanie 55 e^f − injekcja ⇒ f − injekcja Zakładam, że f jest funkcją jednej zmiennej, co wiele nie zmienia Z założenia mamy, że dla x₁ ≠ x₂ ⇒ e^f(x₁) ≠ e^f(x₂) a z tego mamy f(x₁) ≠ f(x₂) Zatem pokazaliśmy, że z x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) co kończy dowód (proste prawda ? ) Zadanie 56 e^f − malejąca ⇒ f − malejąca ? Dla x₁ > x₂ mamy, że e^f(x₁) < e^f(x₂), ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej jest > 1 (e ≈ 2,7 > 1) to opuszczamy podstawę bez zmiany nierówności, a co za tym idzie: f(x₁) < f(x₂), z tego mamy, że f również jest malejąca

PuRXUTM: Godzio wielkie dzięki ! Już się zabieram do lektury, jak czegoś nie będę wiedział to będę pisał

PuRXUTM: dlaczego w pierwszym f(1,1)=(0,0) x=1, y=1 x²−y=1−1=0 y=1 czyli jak dla mnie to powinno być f(1,1)=(0,1)...

Basia: Godzio się pomylił; jest tak jak piszesz

PuRXUTM: dzięki Basiu

Basia: (x²−y; y) = (a²−b;b) ⇔ x²−y = a²−b ∧ y=b ⇔ x²−b = a²−b ∧ y=b ⇔ x² = a² ∧ y=b jeżeli więc weźmiesz pary (1,1) i (−1,1) dostaniesz f(1,1) = (0,1) f(−1,1) = (0,1) czyli nie jest różnowartościowa

Godzio: No jasne, powinno być (0,1)

PuRXUTM: [Jeśli (x1,y1) ≠ (x2,y2) to f(x1,y1) = (x1 − logy1,y1) ≠ (x2 − logy2,y2) = f(x2,y2) (współrzędne na drugim miejscu są różne) ] to nie chodzi o współrzędne na pierwszym miejscu bo funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa czyli pierwsza współrzędna zawsze będzie inna, tak

Godzio: x₁ − logy₁ = x₂ − logy₂ −− nie za bardzo możemy coś na ten temat powiedzieć, więc to błędna droga, starczy nam, że różnią się na jednej współrzędnej,

PuRXUTM: aha bo zakładamy że y1≠y2 tak ?

Godzio: Powinienem trochę więcej napisać (x₁,y₁) ≠ (x₂,y₂) ⇔ x₁ ≠ x₂ lub y₁ ≠ y₂ (1) Dla y₁ ≠ y₂ jest ok, (2) Dla x₁ ≠ x₂ i y₁ = y₂ (bo w przeciwnym razie (1) ) x₁ − logy₁ ≠ x₂ − logy₂ ⇔ x₁ ≠ x₂ więc wszystko ok

PuRXUTM: Godzio jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc !