Zbadaj lacznosc i przemiennosc : Gosia: Zbadaj lacznosc i przemiennosc : A=QxQ a◯b=(ad+bc, ac + 5bd) a co do tego przykladu? ma ktos jakis pomysl jak to rozwiazac?

PW: Fatalnie sformułowane, nie dziwię się że trudno zrozumieć. Jest to działanie w zbiorze par, więc (1) a=(x,y) i b=(u,v). Definicja działania "◯" powinna być sformułowana następująco: Przy oznaczeniach jak w (1) a◯b = (xv+yu, xu+5yv). Co za talent dezinformacyjny użył tych samych liter a i b raz jako oznaczeń par liczb − po lewej stronie kółka, a drugi raz w tym samym wzorze jako oznaczeń ich "współrzędnych" − po prawej stronie kółka?

Gosia: Sa to zadania ze zbioru z algebry liniowej − Beata Bugajska−Jaszczołt

Gosia: Pierwszy rok studiow matematycznych, zadana praca domowa no a oczywiscie brak jakis wskazowek od wykladowcy.. Stad wlasnie moje problemy z zadaniami...

PW: Naprawdę były takie oznaczenia? Wyrzuć ten zbiór zadań, przecież to brednie. Sens działania jest taki: mnożymy przez siebie skrajne współrzędne, potem "bliższe" i dodajemy − mamy pierwszą współrzędną wyniku. Druga współrzędna powstaje w wyniku pomnożenia przez siebie pierwszych współrzędnych i dodania do tego pięciokrotności iloczynu drugich współrzędnych. Powinnaś dać radę. Najpierw przećwicz na konkretnych parach, np (2,5)◯(3,7) − to pomaga w operowaniu symbolami dla dowodu (zawsze tak robiłem i myślę, że jest taka konieczność, przynajmniej na początku.

Gosia: Ok, rozumiem jak by to miało wyglądać na tym przykładzie (2,5)◯(3,7), natomiast nie bardzo wiem jak przemnożyć mój genialny przykład a◯b=(ad+bc, ac + 5bd). Czy mógłbyś mi to konretnie rozpisać? Wiem, że ma to wyglądac w ten sposób, że jak chce udowodnić łączność to musze to zapisać w ten sposób : ∀ ∊(a,b)(c,d)(e,f) ∊ QxQ ( w sumie sama nie wiem po co jest ta trzecia para, ale ok ) i teraz (a,b)◯(c,d)◯(e,f)= (a,b)◯(c,d)◯(e,f) dobrze mysle? tylko co dalej?

PW: Trzeci element zbioru A (trzecia para liczb) jest konieczna, bo w definicji łączności występują trzy elementy, na których działanie jest wykonywane w różnej kolejności. ((a,b)◯(c,d))◯(e,f) = (najpierw działanie w nawiasie)=(ad+bc,ac+5bd)◯(e,f) = =((ad+bc)f+(ac+5bd)e, (ad+bc)e+5(5bd)f) = = (adf+bcf+ace+5bde, ade+bce+25bdf) (a,b)◯((c,d)◯(e,f)) = (a,b)◯(cf+de, ce+5df) = = (a(ce+5df)+b(cf+de), a(cf+de)+5b(ce+5df)) = = (ace+5adf+bcf+bde, acf+ade+5bce+25bdf). Podsumowanie: ((a,b)◯(c,d))◯(e,f) = (adf+bcf+ace+5bde, ade+bce+25bdf) (a,b)◯((c,d)◯(e,f)) = (ace+5adf+bcf+bde, acf+ade+5bce+25bdf) Widać, że nie dla wszystkich (a,b), (c,d) i (e,f) ma miejce równość prawych stron, a więc działanie nie jest łączne. Tu warto dla siebie (a na kolokwium jako kontrprzykład, i dosyć) pokazać, że np. ((1,0)◯(2,2))◯(3,3) ≠ ((1,0)◯(2,2))◯(3,3) L=(1•2+0•2,1•2+5•0•2)◯(3,3) = (2,2)◯(3,3) = (2•3+2•3, 2•3+5•2•3) = (12,30) P=(1,0)◯((2,2)◯(3,3) = (1,0)(2•3+2•3, 2•3+5•2•3) = (1,0)◯(12,36) = (1•36+0•12, 1•12+5•0•36) = (36,12) Powtarzam: zawsze warto zacząć od przykładu. Gdybyśmy nie rzucili się na dowodzenie, ale zaczęli od przykładu, to moglibyśmy na tym skończyć − jest kontrprzykład, konkretna trójka elementów zbioru A, dla których nie zachodzi łączność − koniec wywodu, działanie nie jest łączne. Mam prośbę − sprawdź dokładnie wszystkie rachunki, bo piszę "na pamięć", byłem na badaniu dna oka.