Indukcja Edward: Indukcja Udowodnic, ze dla dowolnego n naturalnego oraz x rzeczywistego zachodzi nierownosc: |sinnx| ≤ n|sinx| Krok pierwszy pomine i przejde od razu do drugiego. Teza: |sin(n+1)x| ≤ (n+1)|sinx| |sin(nx + x)| = |sinnxcosx + cosnxsinx| ≤ |sinnx||cosx|+|cosnx||sinx| |sinnx||cosx|+|cosnx||sinx| ≤ n|sinx| + |sinx| |sinx|≤1, |cosx|≤1 No i niby prawdziwe, ale nie do konca to rozumiem, bo nie nie znajdzie sie takie |sinnx||cosx|+|cosnx||sinx|, ktore bedzie wieksze od n|sinx| + |sinx|? Np, gdyby n|sinx| + |sinx| przyjelo jakies bardzo niskie wartosci w przedziale powiedzmy <0; 000000,1)?

PW: (1) ... ≤ |sinnx||cosx|+|cosnx||sinx| ≤ |sinnx|•1+1•|sinx| = |sinnx|+|sinx|. Te "1" biorą się z ograniczenia funkcji |cosx| i cosnx| przez 1. Na mocy założenia indukcyjnego |sinnx| ≤ n|sinx|, a więc kontynuując (1) możemy napisać ... =|sinx|(n+1), po prostu wyłączając |sinx| przed nawias, co kończy dowód nierówności dla liczby (n+1). W dowodzie indukcyjnym konieczne jest wyraźne wskazanie miejsca, w którym korzystamy z założenia indukcyjnego (zrobiłeś to, ale w sposób wymagający od czytelnika domyślenia się tego).