równania trygonometryczne Pontas: Proszę o rozwiązanie równań trygonometrycznych z wyjaśnieniem a) (sin4x − 2cos4x)² + (cos4x − 2sin4x)² = 3 b) 1 + cos2x + cos4x = sin2x + sin4x + sin6x c) (9/4)^sin2x + (9/4)^cos2x = 3

Janek191: a) ( sin4x − 2 cos4x)² + ( cos4x − 2 sin 4x)² = 3 sin²4x − 4 sin4x*cos4x + 4cos²4x + cos² 4x − 4 cos4x*sin4x + 4 sin²4x = 3 ( sin² 4x + cos²4x) + 4*(cos²4x + sin²4x) − 8 sin4x*cos4x = 3 1 + 4*1 − 8 sin4x*cos4x = 3 5 − 8 sin4x*cos 4x = 3 − 8 sin4x*cos 4x = − 2 / : ( −4)

	1
2 sin 4x*cos4x =
	2

	1
sin 8x =
	2

	π		5π
8x =		+ 2π*k lub 8x =		+ 2π*k
	6		6

więc

	π		π		5π		π
x =		=		*k lub x =		+		*k k − dowolna liczba całkowita
	48		4		48		4

=====================================================

Janek191: Tam ma być

	π		π
x =		+		*k
	48		4

Janek191: c)

	9		9
(		)sin2x + (		)cos2 x = 3
	4		4

	9		9
(		)sin2 x + (		)1 − sin2x = 3
	4		4

	9		9		9
(		)sin2x +		*(		)− sin2x = 3
	4		4		4

	9
t = (		)sin2x
	4

więc

1		9
	= (		)− sin2x
t		4

czyli

	9		1
t +		*		= 3 /* t
	4		t

	9
t2 +		= 3t
	4

	9
t2 −3t +		= 0
	4

	9
Δ = 9 − 4*1*		= 9 − 9 = 0
	4

	3
t =
	2

zatem

	9		3		1		1		√2
(		)sin2x =		⇒ sin2 x =		⇒ sin x = −√		= −
	4		2		2		2		2

	√2
lub x =
	2

	3		π
x = −		π +2π*k lub x = −		+ 2π*k
	4		4

	π		3
lub x =		+2 π*k lub x =		π+2π*k , k − dowolna liczba całkowita
	4		4

Janek191: c)

	9		9
(		)sin2x + (		)cos2 x = 3
	4		4

	9		9
(		)sin2 x + (		)1 − sin2x = 3
	4		4

	9		9		9
(		)sin2x +		*(		)− sin2x = 3
	4		4		4

	9
t = (		)sin2x
	4

więc

1		9
	= (		)− sin2x
t		4

czyli

	9		1
t +		*		= 3 /* t
	4		t

	9
t2 +		= 3t
	4

	9
t2 −3t +		= 0
	4

	9
Δ = 9 − 4*1*		= 9 − 9 = 0
	4

	3
t =
	2

zatem

	9		3		1		1		√2
(		)sin2x =		⇒ sin2 x =		⇒ sin x = −√		= −
	4		2		2		2		2

	√2
lub x =
	2

	3		π
x = −		π +2π*k lub x = −		+ 2π*k
	4		4

	π		3
lub x =		+2 π*k lub x =		π+2π*k , k − dowolna liczba całkowita
	4		4

Janek191: Tam powinno być ( III wiersz od dołu )

	√2
lub sin x =
	2

Pontas: Dzięki za pomoc