Wykaż,że dla każdego n∊ N zachodzi nierówność : 4^n >n^3 Maciek: Wykaż,że dla każdego n∊ N zachodzi nierówność : 4ⁿ >n³ Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

Antek: Wykaz to indukcyjnie

Maciek: To wiem,ale mam z tym problem. Nie potrafie udowodnić tezy,że 4ⁿ⁺¹ > (n+1)³

Maciek: pomysł jest taki : 4ⁿ > n³ / *4 4ⁿ⁺¹ > 4n³

Krzysiek: dla n=1 zachodzi, zakładasz że zachodzi dla pewnego k>1 4^k>k³ 4*4^k>4*k³=k³+k³ +k³ +k³=k³ +2k(k²)+k*k²≥k³+4k²+4k≥k³ +3k²+3k+1=(k+1)³ (nierówności zachodzą bo k²≥4 , k≥2 )

Maciek: Dzięki Krzyśku. Mógłbyś mi jeszcze powiedzieć,jak wpadłeś na pomysł rozbicia 4k³ ? To jest jakiś wzór?

Krzysiek: możesz rozpisać prawą stronę i wtedy zauważasz,że musisz wykazać,że: 3k³≥3k²+3k+1 i szacujesz korzystając z tego,że: k>1

Maciek: Który wyraz masz na myśli,mówiąc prawa strona? Bo np nie wiem skąd jest k³+4k²+4k

Krzysiek: prawa strona (k+1)³ a ta pierwsza nierówność, to skoro k>1 to k≥2 i k²≥4 (k∊N) zatem: 2kk²≥2*2k²=4k² k*k²≥k*4=4k