Funkcja trygonometyczna LaBruja: Proszę o pomoc z funkcją trygonometryczną! Dla jakich rzeczywistych liczb a i b równanie

	a2+b2
2|sinxcosx|=
	a2−b2

ma dwa różne rozwiązania w przedziale [o,π)

PW: Znany jest wzór 2sinxcosx=sin2x, który pozwala równanie przedstawić w postaci

	a2+b2
|sin2x|=
	a2−b2

Wiadomo, że 0≤|sin2x|≤1, a więc rozwiązania równania mogą istnić tylko dla takich a i b, dla których

	a2+b2
(1) 0 ≤		≤ 1.
	a2−b2

Ułamek ten istnieje i jest dodatni dla a i b takich, że a²−b²>0. Trzeba to dobrze rozumieć: a≠b, bo mianownik byłby równy zeru. W takim razie licznik jest dodatni jako suma kwadratów dwóch różnych liczb. Wobec tego ułamek nie może przyjmować wartości 0, a żeby był dodatni − mianownik musi być dodatni, czyli a²−b²>0. Uff. Nierówność (1) dla takich a i b jest więc równoważna nierówności (2) a²+b²≤a²−b² (można było pomnożyć przez dodatni mianownik nie zmieniając nierówności na przeciwną). Nierówność (2) jest równoważna nierówności b²≤−b², a ta jest prawdziwa tylko dla b=0. Wniosek. Badane równanie trygonometryczne może mieć rozwiązanie tylko gdy b=0, a więc gdy ma postać

	a2
|sin2x| =
	a2

|sin2x| = 1, x∊[0, π). Okresem funkcji sin2x jest liczba π (na zadanym przedziale funkcja osiąga wszystkie możliwe wartości, w szczególności jednokrotnie 1 i jednokrotnie −1). Nie pytali dla jakich x, więc ich nie szukamy, ale można wykonać w tym miejscu rysunek. Pozwoli on zobrazować między innymi fakt, że wszystkie różne od 1 wartości przyjmowane są 4 razy przez funkcję |sin2x|. Odpowiedź. Zadane równanie ma dwa rozwiązania tylko wtedy, gdy b=0, zaś a jest dowolną liczbą różną od zera.

LaBruja: Dzięki! Właśnie podobnie to zrobiłam i wyszło mi b=0 i a dowolne różne od 0. Tylko myślałam, że chodzi o podanie tych konkretnych x. Mógłbyś mi jeszcze powiedzieć, czy jeżeli by było, żeby podać dla jakich x to byłoby to x=^π₄ v x=^3π₄?

PW: sin2x=1 lub sin2x=−1, x∊[0,π) − można na to spojrzeć tak, że 2x∊[0, 2π)

	π		3π
2x=		lub 2x =
	4		4

	π		3π
x=		lub x =
	8		8