Wykaż, że....
poker: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
Próbowałam sama to zrobić i czy to jest poprawne rozwiązanie?
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc /*2
2(a2 + b2 + c2) ≥ 2ab +2ac + 2bc
a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac − 2bc ≥ 0
a2 + b2 + c2 + (a − b − c)2 ≥ 0 i tutaj koniec, bo kwadrat dowolnej liczby zawsze jest
większy od 0
13 paź 09:35
Basia:
niestety
(a−b−c)2 = (a−b)2 − 2(a−b)c + c2 = a2−2ab+b2 − 2ac + 2bc + c2 =
a2+b2+c2 − 2ab − 2ac + 2bc
trzeba więc troszkę inaczej od miejsca
a2+b2+c2+a2+b2+c2 − 2ab − 2ac − 2bc =
(a2−2ab+b2) + (a2−2ac+c2) + (b2−2bc+c2) =
(a−b)2 + (a−c)2 + (b−c)2 ≥ 0 (ponieważ jest sumą kwadratów)
stąd
2a2+2b2+2c2 − 2ab−2ac−2bc ≥0
a2+b2+c2 ≥ ab+ac+bc
co należało udowodnić
13 paź 09:49
poker: Dzięki za odpowiedź
13 paź 09:50
Janek191:
Co nie tak
13 paź 09:57
Janek191:
Raczej tak :
( a − b)2 + ( a − c)2 + ( b − c)2 ≥ 0
czyli
a2 −2ab +b2 + a2 − 2ac + c2 + b2 − 2bc + c2 ≥ 0
2 a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc / : 2
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
ckd.
13 paź 10:01