granice ciągów Ona: Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu, uzasadnij równości: lim ²ⁿ⁺¹_n² = 0 korzystając z definicji mam: |²ⁿ⁺¹_n² − 0|< epsilon czyli jest zawsze dodatnie bo n należy do N ²ⁿ⁺¹_n² < epsilon i ok jedyny mój pomysł to równanie kwadratowe i obliczenie pierwiastków, ale co z tym dalej, nie wiem jak mozna to udowodnić, że równość ta będzie zawsze prawdziwa. naprowadzi mnie ktoś?

Basia:

2n+1		2n		2
	<		=
n2		n2		n

	2
wystarczy więc aby		< ε
	n

Ona: można tak po prostu szacować? na ćwiczeniach nie robiliśmy nigdy takich szacowań...

Basia: można, przecież to oczywiste relacja mniejszości jest przechodnia a<b i b<c ⇒ a<c

Ona: lim ^{2√n +1}_√n+1 =2 a ten przykład jak oszacować?

Basia:

	2√n+1
to ma być an =		?
	√n+1

używaj dużej litery U gdy piszesz takie ułamki

Ona: tak

Basia:

	2√n+1
|		−2| < ε ⇔
	√n+1

	2√n+1−2√n−2
|		| < ε ⇔
	√n+1

	−1
|		| < ε ⇔
	√n+1

1
	< ε
√n+1

1		1
	<
√n+1		√n

wystarczy więc aby

1
	< ε ⇔
√n

1 < ε√n ⇔

1
	< √n ⇔ // obie strony dodatnie
ε

1		1
	< n ⇔ n >
ε2		ε2

Ona:

	1
nie rozumiem dlaczego dajemy
	√n

1		1
	>		< ε
√n		√n+1

to już nie działa zasada a<b i b<c ⇒ a<c

Basia:

1		1
	<		< ε
√n+1		√n

coś źle przeczytałaś; działa jak najbardziej

Ona:

	1
ale skąd wiemy, że epsilon na pewno jest mniejszy od		tego tutaj nie rozumiem...
	√n

Basia:

	1
ε nie jest < od
	√n

	1
odwrotnie: wystarczy, żeby		był < od ε
	√n

ε>0 to przecież zakładasz; √n≥√1=1>0

1
	< ε /*√n mogę bo wiem, że √n>0
√n

1 < ε*√n / :ε mogę bo wiem, że ε>0

1
	< √n /()2 mogę bo wiem, że obie strony >0
ε

1
	< n
ε2

wredulus_pospolitus:

	2n+1		2n
Basiu ... nie to żebym się czepiał czy coś, ale		>
	n2		n2