macierze Bartek: Znacie może jakiś zbiór zadań pdf, w którym były by układy równań z trzema lub czterema niewiadomymi? Przy czym chodzi mi o metodę rozwiązywania w postaci macierzy.

Bartek: Słuchajcie, chciałem głębiej przetrenować rozwiązywanie układów równań liniowych z niewiadomymi przy pomocy macierzy, ale kłopot w tym, że internet jest pusty. W googlach nic nie ma, a w skoczylasie są za dania nie na temat. Pomocy...

Trivial: Możesz sobie sam wymyślać układy, a odpowiedzi sprawdzać na wolframie

Bartek: Właśnie zacząłem sobie wymyślać sam przykłady, ale raz sobie taki wymyśliłem, że już łatwiej mi było go wyznacznikami policzyć. Sęk jednak w tym, że wyznacznikami liczy się tylko układy kwadratowe, a nie prostokątne. Chodzi o to, że nie łatwo jest wymyślić taki sprytny układ, dzięki którem otrzymam układ schodkowy z samymi zerami i jedynkami − a mnie właśnie takie przykłady są potrzebne. A no właśnie

Trivial: Jak wymyślić "ładny" układ? Zacznij od rozwiązania. Niech będzie "ładne", np.:

	1 2
x =

Teraz pomnóż x przez dowolną "ładną macierz" (taką o współczynnikach całkowitych). Przykładowo:

1 2 −1 5		1 2 −1 5	1 2		5 9
	x =			=

I możesz sobie rozwiązywać. Prostokątne zrobisz tak samo. Wymyśl ładne x, np.: x = [ 1 0 −1 ]^T Pomnóż przez macierz, np.:

	1 2 0 −1 2 −2		1 1
		x =

I znów możesz sobie rozwiązywać.

Bartek: Sory Trivial, ale nie za bardzo za tobą nadążam. Przecież w przykładach, które sobie zarzucam współczynniki są całkowite. To jednak nie wiele zmienia, bo gdy je rozwiązuję, to przychodzi taka sytuacja, że zupełnie nie wiem do czego zmierzam. Możę będzie prościej jeśli cię zapytam czy mógłbyś mi wytłumaczyć samą filozofię sprowadzania macierzy do układu schodkowego zredukowanego. Ogólnie wiem co to jest oraz wiem po co to jest. Znam też metodę tzn. odejmowanie lub dodawanie wierszy w macierzy, ale i tak mam wrażenie, że tak do końca tego nie rozumiem.

Trivial: Sprowadzanie macierzy do postaci zredukowanej to metoda obliczeniowa pozwalająca zapisać układ równań w takiej postaci, że jego rozwiązanie jest trywialne. Jak chcesz mogę dać przykład: Znajdź wszystkie wektory x = [ x₁ x₂ x₃ x₄ ]^T, takie że:

	1 2 1 1 1 2 0 2		4 3
		x =

Bartek: Okej, to wyszło mi coś takiego, ale dalej nie wiem co z tym zrobić:

1 2 1 1 0 0 −1 1		4 −1
	=

Zastosowałem: W2 − W1.

Trivial: Redukuj dalej. Czy da się ocalić jakoś drugą kolumnę przez zamianę wierszy? Nie. Zatem kolumna druga jest traktowana jako kolumna wolna (x₂ będzie parametrem w rozwiązaniu). Przechodzimy do kolumny trzeciej. Redukujemy do góry:

1 2 1 1 | 4 0 0 −1 1 | −1
	→

1 2 0 2 | 3 0 0 −1 1 | −1
	→

1 2 0 2 | 3 0 0 1 −1 | 1

Jeżeli się skupisz, to zobaczysz tutaj macierz jednostkową w kolumnach 1,3. Zapisując nasze równania mamy: x₁ + 2x₂ + 2x₄ = 3 x₃ − x₄ = 1 Zatem wystarczy wybrać x₂,x₄ jako parametry i mamy że: x₁ = 3 − 2c₁ − 2c₂ x₃ = 1 + c₂ Czyli rozwiązanie ogólne wygląda tak: x = [ 3 − 2c₁ − 2c₂ c₁ 1 + c₂ c₂ ]^T = = [ 3 0 1 0]^T + c₁*[−2 1 0 0]^T + c₂*[−2 0 1 1]^T Zauważ, że wszystkie te informacje można odczytać wprost z macierzy zredukowanej:

1 2 0 2 | 3 0 0 1 −1 | 1

x = [ 3 0 1 0]^T + c₁*[ −2 1 0 0]^T + c₂*[ −2 0 1 1]^T

Trivial: No to teraz trudniejszy przykład, ale od razu zredukowany: 1 2 0 1 −1 0 | −1 0 3 1 3 1 0 | 0 0 1 0 2 0 1 | 1 Jakie wektory x spełniają ten układ równań?

Bartek: Jeju, Trivial, dzięki wielkie. Czyli wnioskuję, że mój problem (mam wrażenie) polega na tym, że jeszcze nie za bardzo załapałem sam mechanizm redukcji takiej macierzy. Chodzi mi po prostu o to, że strasznie się jeszcze motam, gdy usiłuję dostrzec jak uzyskać owe jedynki bez niszczenia zer. Bo mój kłopot polega na tym, że owszem uzyskuję w danym miejscu jedynkę lub minus jedynkę, ale w tym samym wierszu np. 0 zamienia mi się na niezero. I tak mam z tymi układami cały czas. Właśnie usiłuję rozwiązać przykład z wikipedi. Tak na marginesie

Bartek: Trivial poczekaj, ja nie myślę tak szybko. Moment, bo po napisaniu tutaj posta, zajrzałem do wiki żeby rozwiązać inny przykład. Daj mi chwilę. Rozwiążę tamten, potem przeanalizuję jeszcze raz ten twój i dopiero, Okej? dziękować.

Trivial: Ściślej mówiąc, to mój układ nie jest do końca "zredukowany", ale jego rozwiązanie można zapisać od razu (nic nie trzeba już zmieniać). Może nie będę już kombinować, tylko dam dobrze "zredukowany" przykład: 1 2 0 1 −1 0 | −1 0 0 1 3 1 0 | 0 0 0 0 0 0 1 | 1

Bartek: Trivial, pytanie ogólne: Czy poprzez "ocalenie" którejkolwiek kolumny masz na myśli uzyskanie w niej jedynki oraz samych zer? Żeby było prościej, proszę o odpowiedź: tak lub nie.

Trivial: tak.

Bartek: Aha, czyli kolumna z zerami i jedynkami to kolumna jednostkowa a kolumny wolne to kolumny z parametrami? A co jeśli mam kolumnę z jedynką i np. trójką i nie da się trójki zredukować do zera? Bo np. wtedy rozwalam zera w kolumnie sąsiedniej? Bo z tym problemem właśnie zetknąłem się dzisiaj najczęściej. Po prostu takie bałagany mi wychodziły, że załamać się można.

Bartek: Okej, może dam przykład: x + 3y +2z = 4 2x + 4y + 5z =3 5x + 10y +7z = 6 ?

Trivial: Mam gdzieś program do redukcji macierzy. Zaraz wygrzebię.

Trivial: 1 3 2 4 2 4 5 3 5 10 7 6 w2 := w2 − (2)*w1 w3 := w3 − (5)*w1 1 3 2 4 0 −2 1 −5 0 −5 −3 −14 w2 := w2/(−2) 1 3 2 4 0 1 −¹₂ ⁵₂ 0 −5 −3 −14 w1 := w1 − (3)*w2 w3 := w3 − (−5)*w2 1 0 ⁷₂ −⁷₂ 0 1 −¹₂ ⁵₂ 0 0 −¹¹₂ −³₂ w3 := w3/(−¹¹₂) 1 0 ⁷₂ −⁷₂ 0 1 −¹₂ ⁵₂ 0 0 1 ³₁₁ w1 := w1 − (⁷₂)*w3 w2 := w2 − (−¹₂)*w3 1 0 0 −⁴⁹₁₁ 0 1 0 ²⁹₁₁ 0 0 1 ³₁₁

Bartek: Trivial, na prawdę dzięki. Policzyłem to sobie i chyba już wiem o co biega. Dziś już może nie, bo trzeba jutro wstać,ale jutro zrobię tego więcej. Chyba już rozumiem o co chodzi. Dzięki jeszcze raz.

Trivial: To była eliminacja w stylu Jordana − w górę i dół na raz. Można wyeliminować też najpierw w dół, a potem w górę − w stylu Gaussa.

Bartek: Właściwie to zauważyłem, że w tej redukcji panuje taka kolejność na przemian: 1 0 1 0 1 0 , mam rację? albo 0 1 0 1 0. Tzn. gdy śledziłem twoje obliczenia, to zauważyłem, że najpierw osiągasz 0 a potem 1 potem znowu 0 i znowu 1.

Trivial: Daj większy przykład, to zobaczysz. Program wszystko wchłonie.

Bartek: A ten program ty sam napisałeś? Czy z netu ściągany? Wiesz, ja jestem (może na razie z programowanie kiepski, bo dopiero się uczę), ale generalnie jestem fascynatem takich rzeczy. W tej chwili jestem w trakcie czytania php.net oraz javascript. Kiedyś uczyłem się podstaw programowania obiektowego c++.

Trivial: Kiedyś napisałem jak mi się nudziło.

Bartek: Podziwiam takie rzeczy. Po prostu podziwiam. Jedni idą na panienki jak im się nudzi. Inni (a feee..) na panów. A tu proszę, gościowi się nudziło i zrobił program do redukcji macierzy. Co tu dużo pisać − szacun!

Bartek: A w czym ten program napisałeś? W c++ ?

Trivial: Tak. Sam algorytm redukcji jest prosty.

Bartek: No widzisz, a mnie się w dziedzinie programowania marzy programowanie pod windows. Słyszałem o książce Pecolda, ale wiesz...po pierwsza kasa, a po drugie ...trudno mówić o nauce programowania, gdy się w ciągu dnia robi mnóstwo innych rzeczy. Patrz dzisiaj: ćwiczenie redukcji macierzy.

Trivial: Dopisałem redukcję w stylu Gaussa. 1 3 2 4 2 4 5 3 5 10 7 6 w2 := w2 − (2)*w1 w3 := w3 − (5)*w1 1 3 2 4 0 −2 1 −5 0 −5 −3 −14 w3 := w3 − (⁵₂)*w2 1 3 2 4 0 −2 1 −5 0 0 −¹¹₂ −³₂ Kolumna 4 oznaczona jako wolna w3 := w3/(−¹¹₂) 1 3 2 4 0 −2 1 −5 0 0 1 ³₁₁ w2 := w2 − (1)*w3 w1 := w1 − (2)*w3 1 3 0 ³⁸₁₁ 0 −2 0 −⁵⁸₁₁ 0 0 1 ³₁₁ w2 := w2/(−2) 1 3 0 ³⁸₁₁ 0 1 0 ²⁹₁₁ 0 0 1 ³₁₁ w1 := w1 − (3)*w2 1 0 0 −⁴⁹₁₁ 0 1 0 ²⁹₁₁ 0 0 1 ³₁₁

Bartek: Kolejny przykład. Wyszło mi, że układ nie ma rozwiązań, bo na samym końcu w wierszu czwartym jest : 0 + 0 + 0 −38 przy czym −38 to wyraz wolny. Dlatego moim zdaniem układ musi być sprzeczny, bo 0≠ −38. Przykład: 2x +y +3z =4 x +3y +z = 3 4x + 2y + 3z = 5 −x + 5y + 2z = −3

Trivial: 2 1 3 4 1 3 1 3 4 2 3 5 −1 5 2 −3 w2 := w2 − (¹₂)*w1 w3 := w3 − (2)*w1 w4 := w4 − (−¹₂)*w1 2 1 3 4 0 ⁵₂ −¹₂ 1 0 0 −3 −3 0 ¹¹₂ ⁷₂ −1 w4 := w4 − (¹¹₅)*w2 2 1 3 4 0 ⁵₂ −¹₂ 1 0 0 −3 −3 0 0 ²³₅ −¹⁶₅ w4 := w4 − (−²³₁₅)*w3 2 1 3 4 0 ⁵₂ −¹₂ 1 0 0 −3 −3 0 0 0 −³⁹₅ Układ sprzeczny.

Bartek: Trivial, dlaczego na samej górze jest: w2 := w2 − (1/2)*w1 Przecież w tym równaniu w ogóle nie ma takiego współczynnika, jak 1/2.

Bartek: Triiiiiviaaaal

Trivial: Po kolei w pierwszej kolumnie: Przez co pomnożyć 2 żeby było równe 1? przez ¹₂. Przez co pomnożyć 2 żeby było równe 4? przez 2. Przez co pomnożyć 2 żeby było równe −1? przez −¹₂.

	y
Przez co pomnożyć x żeby było równe y? przez		.
	x

Bartek: No oczywiście ta ja też to zauważyłem, ale wydawało mi się, że mnożyć można tylko przez istniejące współczynniki. Czyli jeśli mam: 2 1 3 4 1 3 1 3 4 2 3 5 −1 5 2 −3 to myślałem, że np. W1 − 2*W2, bo w pierwszym wierszu mam współczynnik 2 (na samym początku z resztą). Wydawało mi się, że tych liczb do mnożenia nie można sobie brać tak z choinki

Trivial: Można.

Trivial: Każda liczba ≠ 0 jest OK.

Bartek: Trivial, a znasz może jakieś miejsce w internecie, gdzie można o zasadach tej redukcji poczytać? Tzn. nie chodzi mi o konkretne przykłady, bo metodę Gaussa w wikipedi znalazłem. Chodzi mi raczej o zasady teoretyczne, czyli o jakieś takie teoretyczne reguły. I to sprawa pierwsza. Sprawa druga: 2 1 3 4 1 3 1 3 4 2 3 5 −1 5 2 −3 Dlaczego w tym przykładzie nie policzyłeś tak, by ta pierwsza dwójka zamieniła się na jedynkę? Przecież można było zrobić: W1 − W2 i miałbyś od razu w pierwszym wierszu na samym początku jedynkę. Czy tu może jest jakaś taka dowolność tych obliczeń

Trivial: Zasady są tylko 3, więc je po prostu napiszę. Dozwolone operacje to: 1. Pomnożenie wiersza przez liczbę c ≠ 0. w_i ← c*w_i 2. Dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza (c ≠ 0). w_i ← w_i + c*w_j 3. Zamiana dwóch wierszy. w_i ↔ w_j Można eliminować w dowolny sposób, tak aby dojść do rozwiązania. Mój program eliminuje w sposób "tradycyjny", czyli po prostu od góry do dołu (otrzymuje się trójkąt zer pod przekątną macierzy).

Trivial: A jeśli chodzi o materiały to: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/ Wykład 2: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-2-elimination-with-matrices/

Bartek: Ale chyba dzielić też można np. Wi <−−Wi:c gdzie c≠0 ?

Trivial:

	1
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. x : c =		*x
	c

Bartek: Okej, taki przykład. Nie wiem czy dobrze zrobiłem, ale doszedłem do tego,że jest sprzeczny: 1 2 1 | 5 2 1 2 | 3 4 −2 −3 | 3 5 3 4 | 2 W2 − 2W1 W3 − 4W1 W4 − 5W1 i otrzymałem: 1 2 1 5 0 −3 0 −7 0 −10 −7 −7 0 −7 −1 −8 w2:(−3) 1 2 1 5 0 1 0 7/3 0 −10 −7 − 7 0 −7 −1 −8 W3 + 10W2 W4 + 7W2 1 2 1 5 0 1 0 7/3 0 0 −7/2 49/3 0 0 −1 25/3 No okej, i co ja mam z tym teraz zrobić? czy ja to w ogóle poprawnie policzyłem?

Bartek: Tzn. sory, tak naprawdę nie wiem czy jest sprzeczny. Chodzi raczej o to, że nie wiem co z nim dalej robić.

Bartek: Okej, poszedłem dalej: W₁ − 2W₂ 1 0 1 1/3 0 1 0 7/3 0 0 −7/2 49/3 0 0 −1 25/3 W₁ + W₄ W₄ *(−1) 1 0 0 1/3 0 1 0 7/3 0 0 −7/2 49/3 0 0 1 −25/3 W₃ (−2/7) 1 0 0 1/3 0 1 0 7/3 0 0 1 −14/3 0 0 1 −25/3 Jak wół wychodzi, że jest sprzeczny. Nie może być x₃= −14/3 i x₃=−25/3 jednocześnie. Chyba, że się gdzieś walnąłęm.

Bartek: Trivial, bo w sumie nie jestem sam na tym forum. Może prześlij mi ten twój program (proszę), to będę sobie to wszystko sam sprawdzał. Co ty na to? Podałbym maila.

Trivial: Ten program nie ma interfejsu użytkownika. Macierze są wpisywane sztywnie do kodu programu. I jakoś nie chce mi się tego zmieniać. Ale kod mogę wrzucić. http://pastebin.com/GB5gabw8 kod nie jest najwyższej jakości − wszędzie się powtarza. Trudno...

Bartek: Żałuję, że poprosiłem Sory.... Miałem po prostu nadzieję, że właśnie ten interfejs jest, (choćby z wiersza poleceń)bo tak to w tym kodzie tylko namieszam.

Trivial: Nie no, wystarczy zmienić w mainie macierz i jej rozmiary. Np dla Twojego problemu: http://pastebin.com/CSk2Dsmi

Bartek: Okej, ale gdzie ten kod odpalić? Jak go przekopiuje np. do visual c+ express to po prostu uruchomić i zadziała?

Bartek: Czy może devc++ byś w tym przypadku raczej sugerował?

Trivial: To nie ma znaczenia. Wystarczy skompilować. A nawiasem, wynik jest taki: 1 2 1 5 2 1 2 3 4 −2 −3 3 5 3 4 2 w₂ := w₂ − (2)*w₁ w₃ := w₃ − (4)*w₁ w₄ := w₄ − (5)*w₁ 1 2 1 5 0 −3 0 −7 0 −10 −7 −17 0 −7 −1 −23 w₃ := w₃ − (¹⁰₃)*w₂ w₄ := w₄ − (⁷₃)*w₂ 1 2 1 5 0 −3 0 −7 0 0 −7 ¹⁹₃ 0 0 −1 −²⁰₃ w₄ := w₄ − (¹₇)*w₃ 1 2 1 5 0 −3 0 −7 0 0 −7 ¹⁹₃ 0 0 0 −⁵³₇ Czyli układ sprzeczny.

Trivial: A DevC++ odradzam zdecydowanie. Muszę z tego korzystać jednych na zajęciach i zawsze są z nim problemy (np. nagle przestaje działać, projekt się zapisuje ale już nie otwiera, itd...)

Trivial: Tymczasem muszę już lecieć. Możesz też wypróbować opcję szukania wszystkich wymiernych pierwiastków dowolnego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Rational as[6] = { 2, 2, 1, 5, 3, 1 }; tryRational(as, 5); Zobacz co się stanie. Na razie.

Bartek: Dzięki wielkie. Na prawdę bardzo mi pomogłeś.

Bartek: Niestety mistrzu. Usiłowałem uruchomić debagowanie w visual c++ express i cały czas wyskakują błędy. Także nie wiem, może podaj mi jak będziesz miał chwilę wskazówki jak ty ten kod odpalasz.

Bartek: Dobra, udało mi się go odpalić na kompilatorze online. Wciąż jednak nie wiem dlaczego pojawiają się błędy w moim visualu. No nic, pewnie jakąś głupotę robię. Taki o to error mi wyskakuje: macierze.cpp 1>d:\macierze\macierze\macierze\macierze.cpp(355): error C2668: 'sqrt' : ambiguous call to overloaded function 1> c:\program files (x86)\microsoft visual studio 10.0\vc\include\math.h(589): could be 'long double sqrt(long double)' 1> c:\program files (x86)\microsoft visual studio 10.0\vc\include\math.h(541): or 'float sqrt(float)' 1> c:\program files (x86)\microsoft visual studio 10.0\vc\include\math.h(127): or 'double sqrt(double)' 1> while trying to match the argument list '(int)' ========== Build: 0 succeeded, 1 failed, 0 up−to−date, 0 skipped ==========

Trivial: Zamień linijkę 355 z: for (i = 1; i < sqrt(n); i++) { na: for (i = 1; i < sqrt((double)n); i++) {

Bartek: Okej Słuchaj,a tak przy okazji, co ty właściwie studiujesz? Jeśli to nie tajemnica oczywiście.

Trivial: Studiuję turystykę religijną.

Bartek: Taki żart... To na turystyce religijnej uczą takich rzeczy?

Trivial:

Bartek: To chyba dobra alternatywa dla tych z polibudy.

Trivial: Jasne. A ty co studiujesz?

Bartek: Informatykę. Właściwie dopiero zacząłem. Ale tak w ogóle to wpienia mnie jedna rzecz. Był czas (kilka ładnych miesięcy), że dotarłem do programowania obiektowego c++. I uczyłem się go, ale później tak mi się ułożyło, że musiałem przestać się tego uczyć i zabrałem się za co innego. A chętnie bym do tego języka wrócił. Tylko nie wiem jak to zrobię, bo teraz uczę się php i javascript. Rozumiesz...po prostu doba za krótka.

Bartek: Bo ja bym chciał: c++, php i javascript. Może też sama java. Mówię. Doba za krótka.

Bartek: O, a właśnie. Jesteś w stanie polecić mi jakąś książkę (bez błędów w kodach) do c++? Słyszam, że thinking in c++ jest dobra.

Trivial: Przeczytałem Thinking in c++ tom pierwszy i część tomu drugiego. Nie widziałem ani jednego błędu w kodzie (w tekście się zdarzały, ale rzadko). Polecam Ci wybrać sobie jeden język na początek i nauczyć się go dobrze. Gdy już osiągniesz odpowiedni poziom, możesz poświęcić te 7 dni na php i javascript. (tyle było mi potrzebne, żeby ogarnąć php i javascript w stopniu pozwalającym zbudować realistyczną stronę internetową).

Bartek: Właśnie. Co do javascript. Są tacy, którzy biorą się za analizowanie kodu jquery. Oj jak bym chciał..., ale niestety jeszcze za mała wiedza i za małe skrzydła.

Bartek: Dobra Trivial Idę spać, bo jutro trza do roboty. Może wrócę do c++. Fajny język.

Trivial: Dobranoc.

Bartek: Trivial, wpisałem taką macierz i errory są: 1 3 −1 2 4 2 6 3 2 3 −1 −3 3 2 6 Skompilowałem ten twój program i błędy mi jakieś wychodzą.

Bartek: Triiiiiviaaal, help

Trivial: "Jakieś błędy" to bardzo konkretne.