Logarytmy Rafał28: Porównaj liczby a i b, jeśli: a = log₂ √2 i b = log₂ √3 Interesuje mnie dowód algebraiczny nie powołujący się na monotoniczność funkcji logarytmicznej. Mogą być to własności funkcji wykładniczej.

ICSP:

	a		a
Sprawdź czy		> 1 czy		< 1
	b		b

Rafał28: Właśnie rozważałem takie przypadki i miałem z tym problem, ale chyba się udało: Wiadomo, że:

	1
a = log2 √2 =
	2

b = log₂ √3 ⇔ 2^b = √3 > √2 = 2^1/2 Z def. funkcji wykładniczej: 2^b > 2^1/2 ⇔ b > ¹₂ = a

ICSP:

a		log2 2
	=		= log3 2 < log3 3 = 1
b		log2 3

a
	< 1 ⇒ a < b
b

PW: Rafale28, zastrzeżenie, żeby nie powoływać się na monotoniczność funkcji logarytmicznej jest sztuczne. Powołujesz się na monotoniczność funkcji f(x)=2^x, a to na jedno wychodzi. Logarytm o podstawie 2 to funkcja odwrotna do f, a więc obie są rosnące (funkcja odwrotna do rosnącej jest też rosnąca).

Rafał28: Źle się wyraziłem. Zadanie znalazłem w książce do szkoły średniej, gdzie uczeń czytając dany rozdział z książki i rozwiązując później zadania ze zbioru zadań do danego rozdziału ma pełną wiedzę o funkcji wykładniczej, natomiast monotoniczność funkcji logarytmicznej jest przedstawiona dopiero później (rozdział dalej, niż to zadanie).

PW: Rozumiem, idzie o to, by uczeń stosował i utrwalał definicję logarytmu, poradziłeś sobie w ten sposób.