Granica ciągu z definicji Studix: Uzasadnij, że jeżeli wartości bezwzględne wyrazów ciągu {x_n} dążą do nieskończoności to odwrotność wyrazów a_n =1/x_n dążą do zera

PW: Granicą ciągu |x_n| jest +∞, czyli dla dowolnej M>0 (1) |x_n|>M jeśli tylko n>n₀ (n₀ zależy od M). Nierówność (1) oznacza, że dla n>n₀ x_n<−M lub x_n>M, to znaczy

	xn		xn
		>1 iub		>1
	−M		M

skąd

	−M		M
0<		<1 lub 0<		<1
	xn		xn

	1		1		1		1
−		<		<0 lub 0<		<		.
	M		xn		xn		M

	1
Powyższa alternatywa oznacza, że (niezależnie od znaku ułamka		)
	xx

	1		1
|		|<		.
	xn		M

	1
Ostatnia nierówność wykazuje spełnienie definicji dążenia do zera ciągu an=		(dla
	xn

dowolnej ε>0 występującej w definicji granicy skończonej wystarczy wziąć taką M, by

	1
		<ε).
	M

PW: Aj, chyba się niepotrzebnie tak bawiłem. Trzeba było od razu łeb ukręcić

|xn|

M

1

1

1

1

|xn|>M ⇔

>1 ⇔

<1 ⇔

<

⇔ |

− 0| <

<

M

|xn|

|xn|

M

xn

M

ε

Studix: Dziękuję bardzo za pomoc