ekstremum lokalne funkcji uwikłanej ankisiak1990: wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji y=y(x) uwikłanej równaniem x⁵+y⁴−4xy²=0 może ktoś pomóc to rozwiązać z góry dziękuję

Trivial: F(x,y) = x⁵ + y⁴ − 4xy², F∊C^∞(R) Mamy warunek: ^∂F_∂y = 4y³ − 8xy ≠ 0.

	∂F∂x
y'(x) = −		= 0 ⇔ ∂F∂x = 0 ∂F∂x = 5x4 − 4y2
	∂F∂y

Zatem mamy do rozwiązania układ równań:

	⎧	x5 + y4 − 4xy2 = 0
	⎨	5x4 − 4y2 = 0
	⎩	4y3 − 8xy ≠ 0

Z równania drugiego mamy:

	5
y2 =		x4
	4

Wstawiamy to do równania pierwszego:

	25
x5 +		x8 − 5x5 = 0
	16

	25
x5(		x3 − 4) = 0
	16

	25		4
x = 0 lub		x3 = 4 → x =
	16		52/3

	√5		4		8		8
y = 0 y = ±		(		)2 = ±		= ±
	2		52/3		54/3 − 1/2		55/6

Rozwiązanie (x,y) = (0,0) nie spełnia warunku z równania trzeciego.

	4		8
Rozwiązania (x,y) = (		, ±		) warunek ten spełniają.
	52/3		55/6

Pozostało przeprowadzić test drugiej różniczki. W punkcie krytycznym mamy:

	∂2F   ∂x2		20x3		5x3
y''(x) = −		= −		=
	∂F   ∂y		4y3 − 8xy		y(x−y2)

	4		53
y''(		) = ±		= ∓α, α > 0
	52/3		8   4   82   ( − ) 55/6   52/3   55/3

Interesuje nas tylko znak.

	8
Dla y =		mamy y''(x) < 0 → maksimum lokalne
	55/6

	8
Dla y = −		mamy y''(x) > 0 → minimum lokalne.
	55/6

Trivial: Pomyliłem się

	5x3
y''(x) = ... =
	y(2x−y2)

Na szczęści nie zmienia to znaku wyrażenia

ankisiak1990: dzięki za pomoc