indukcja matematyczna buzek: Udowodnić za pomocą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej większej od 3 zachodzi nierówność: 3⁽ⁿ⁻¹⁾>n² Najpierw sprawdzam czy 4 spełnia nierówność itd. Potem przekształcam i otrzymuję: P=(n+1)²=n²+2n+1 L=3ⁿ=3⁽ⁿ⁻¹⁾*3>3n² I teraz nie wiem jak udowodnić, że 3n²>n²+2n+1. Jak ktoś ma jakiś pomysł lub gdzieś popełniłem błąd, to proszę pisać, będę wdzięczny.

PW: Nie bardzo tu widać zasadę indukcji. Sprawdzenie dla n=4 − dobrze, a potem 2. Założenie indukcyjne. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej k≥4,to znaczy (2) 3^k−1>k². 3. Teza indukcyjna. Przy założeniu (2) twierdzenie jest prawdziwe dla liczby następnej po k, czyli dla n=k+1: (3) 3^k>(k+1)². 4. Dowód indukcyjny. L=3^k=3^k−1•3>k²•3 na mocy założenia indukcyjnego. Jest oczywiste, że 3k²=k²+2k²>k²+2k•2=k²+2k+2k>k²+2k+1=(k+1)²>P. Pokazaliśmy, że przy założeniu (2) nierówność (3) jest prawdziwa. Zastosowanie zasady indukcji kończy dowód.

PW: Na końcu powinno być (k+1)²=P, skąd L>P.