a PuRXUTM:

	x
Niech f(x)=		, x∊R. Sprawdź monotoniczność f. Wyznacz f(R) a następnie skonstruuj
	1+|x|

f⁻¹ (Przyjmujemy w takiej sytuacji, że f⁻¹ jest określona na obrazie f(R))

PuRXUTM: podbijam monotoniczność wiem jak sprawdzić (funkcja ta jest rosnąca) ale jak skonstruować f⁻¹ Proszę o pomoc

PW: Po prostu z równości

	x
y=
	1+|x|

wyznaczyć x za pomocą y. Równość x=g(y) to będzie wzór określający funkcję g=f⁻¹. Jest to funkcja zmiennej y należącej do przeciwdziedziny funkcji f (do zbioru wartości funkcji f). Kto nie lubi, żeby zmienną była y zamienia ją na dowolną inną literę, np. tradycyjną x.

PuRXUTM: czyli po prostu

	x
y=
	1+|x|

1) x<0 2) x≥0

	x		x
y=		y=
	1−x		1+x

. . . . . .

	y		y
x=		x=
	1+y		1−y

to wystarczy zapisać to trzeba z wartością bezwzględną ? ( a jak tak to jak ? )

Basia: nie wystarczy; trzeba określić dla jakich y f⁻¹ jest określona i kiedy, który wzór obowiązuje x<0

x
	= a
1−x

x = a(1−x) x = a − ax x+ax = a (1+a)x = a dla a= −1 masz sprzeczność

	a
dla a≠−1 masz x =		czyli
	1+a

a
	< 0
1+a

a(1+a) < 0 czyli a∊(−1,0) dla x<0 f(x) przyjmuje tylko wartości z przedziału (−1,0)

	y
czyli dla y∊(−1,0) masz x =
	1+y

	x
czyli dla x∊(−1;0) masz f−1(x) =
	1+x

x≥0

x
	= a
1+x

x = a(1+x) x = ax + a x − ax = a (1−a)x = a dla a=1 masz sprzeczność

	a
dla a≠1 masz x=
	1−a

czyli musi być

a
	≥0
1−a

a(1−a) ≥0 i a≠1 ⇔ a∊<0;1) czyli dla x≥0 f(x) przyjmuje wartości z przedziału <0;1) stąd masz

	y
dla y∊<0;1) y =
	1−y

	x
czyli dla x∊<0;1) f−1(x) =
	1−x

ostatecznie:

	x
		dla x∊(−1;0)
	1+x

f⁻¹(x) =

	x
		dla x∊<0;1)
	1−x

można więc napisać, że

	x
dla x∊(−1;1) f−1(x) =
	1−|x|

PW:

	x		y		y
y=		⇔y−yx=x ⇔ y=x(1+y) ⇔x =		. Szukana funkcja to g(y) =		dla y
	1−x		1−y		1−y

będących wartościami funkcji f(x) dla x<0.

	x		x−1		1		1
f(x)=		=		−		= −1+		− myślę, że zbiór wartości to przedział
	1−x		1−x		1−x		x−1

(−1,0), a więc wzór na funkcją odwrotną do f ma postać

	y
g(y) =		dla y∊(−1, 0),
	1−y

co równie dobrze można zapisać jako

	x
f−1(x)=		, x∊(−1, 0),
	1−x

jeśli ktoś lubi żeby zmienną była x. Dla x≥0 znajdujemy zbiór wartości funkcji f (będzie to chyba przedział (0,1) ) i wzór na funkcją odwrotną, wyznaczając x z równania

	x
y=
	1+x

PuRXUTM: dziękuje trochę to skomplikowane... muszę to ogarnąć

PW: O, Basiu, grzebałem się z pisaniem, ale w dodatku już w pierwszym wierszu zamieniłem "+" na "−", więc PuRXUTM powinien wziąć pod uwagę Twoją odpowiedź.

PuRXUTM: a dlaczego w pierwszym przypadku dla a=−1 jest sprzeczność, i czy zamiast a mogę sobie od razu napisać y ?

Basia: pierwszy to x<0 sprzeczność jest dla a= −1 masz (1+a)x = a podstaw a= −1 0*x = −1 0 = −1

Basia: zamiast a oczywiście możesz napisać y

PuRXUTM: ale ze mnie nieogar... dzięki Basiu