Wyrażenia wymierne
DeDee: Dany jest wielomian w(x)=x3+bx+c o pierwiastkach x1,x2,x3. Wykaż, że suma sześcianów
tych pierwiastków nie zależy od b.
10 paź 16:35
DeDee: UP
10 paź 17:31
DeDee: UP
10 paź 18:41
DeDee: UP
10 paź 19:39
DeDee: UP
10 paź 21:11
Vax: | | 1 | |
x13+x23+x33 = |
| (x1+x2+x3)((x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2)+3xyz = −3c |
| | 2 | |
(gdyż ze wzorów Viete'a x
1+x
2+x
3 = 0 oraz x
1x
2x
3 = −c)
10 paź 21:18
PW: Usiłowałem wczoraj dojść do tego sposobem dostępnym licealiście
W(x) = x3+bx+c = (x−x1)(x−x2)(x−x3)=
[x2−(x1+x2)x+x1x2](x−x3) =
x3−(x1+x2)x2+x1x2x−x3x2+(x1+x2)x3x−x1x2x3 =
x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x − x1x2x3.
Przyrównanie współczynników w obu zapisach W(x) daje
(x1+x2+x3) = 0 i b =x1x2+x1x3+x2x3 i c = − x1x2x3.
Po podstawieniu x=0 po lewej stronie równości w pierwszym wierszu i x=x1+x2+x3 po prawej
stronie dostajemy
c = (x2+x3)(x1+x3)(x1+x2)
c = (x1x2+x2x3+x1x3+x32)(x1+x2)
c = x12x2+x1x22+x1x2x3+x22x3+x12x3+x1x2x3+x1x32+x2x32.
Po podstawieniu c = − x1x2x3 otrzymamy
(1) 3c = x12x2+x1x22+x22x3+x12x3+x1x32+x2x32
Jednocześnie
0 = (x1+x2+x3)3 =
x13+x23+x33+6x1x2x3+x12x2+x12x3+x22x1+x22x3+x32x1+x32x2
i po ponownym zastosowaniu c = − x1x2x3 oraz (1) otrzymamy
x13+x23+x33=−3c.
Droga przez mąkę, zrezygnowałem w ogóle z podawania takiego rozwiązania. Vax powiedz mi
teraz (pytam poważnie) − wymyśliłeś ten genialny wzór na sumę sześcianów na użytek rozważanego
zadania, czy znałeś go skądinąd?
11 paź 19:26
Vax: Znałem go wcześniej, znane jest zadanie polegające na wykazaniu, że jeżeli liczby rzeczywiste
x,y,z spełniają nierówność x+y+z ≥ 0 to x3+y3+z3 ≥ 3xyz, tutaj się właśnie go stosuje.
Da się go łatwo wyprowadzić, zdefiniujmy wielomian o pierwiastkach x,y,z, tj:
W(t) = (t−x)(t−y)(t−z) = t3−at2+bt−c, gdzie a = x+y+z , b = xy+yz+zx , c = xyz, wówczas:
{0 = W(x) = x3−ax2+bx−c
{0 = W(y) = y3−ay2+by−c
{0 = W(z) = z3−az2+bz−c
Sumując te 3 równania stronami dostajemy 0 = x3+y3+z3 − a(x2+y2+z2)+b(x+y+z)−3c =
x3+y3+z3 − (x+y+z)(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)(x+y+z)−3xyz = x3+y3+z3 −
(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)−3xyz ⇔ x3+y3+z3−3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
11 paź 23:33
PW: Piękne, dziękuję. Byłem bliski tego pomysłu, ale zabrakło mi wyobraźni.
Da się łatwo wyprowadzić, niech Cię ...
12 paź 00:02