Trivial:
Obliczmy u = arctg(
12) + arctg(
13).
Żeby u mogło się równać arctg(czegokolwiek) musi zawierać się w zbiorze wartości arctg, czyli:
u∊(−
π2,
π2)
Sprawdźmy to.
0 < arctg(
12) + arctg(
13) < arctg(1) + arctg(1) =
π4 +
π4 =
π2
Zatem pierwszy warunek spełniony. Teraz:
tgu = tg(arctg(
12) + arctg(
13)) = ?
?
?
Wystarczy skorzystać z tego, że tg(arctg(x)) = x (dla każdego x w dziedzinie arctg).
Oczywiście nie pamiętamy wzoru na tangens sumy, więc szybko go wyprowadzamy:
| | sin(x+y) | | sinxcosy + sinycosx | |
tg(x+y) = |
| = |
| = |
| | cos(x+y) | | cosxcosy − sinxsiny | |
| | | | tg(x)+tg(y) | |
= |
| = |
| |
| | | | 1−tg(x)tg(y) | |
Podstawiamy:
| | tg(arctg(12))+tg(arctg(13)) | |
tgu = |
| = |
| | 1−tg(arctg(12))tg(arctg(13)) | |
| | 12 + 13 | | 56 | |
= |
| = |
| = 1 |
| | 1 − 12*13 | | 56 | |
A zatem u = arctg(1).