zbiory marek: Prosze udowodnic zwiazki: A⊂B⇔(A∪B=B)⇔(A∩B=A)⇔(A\B=∅)

Basia: A⊂B ⇔ ∀_x (x∊A ⇒ x∊B) ⇔ ∀_x ~[~(x∊A ⇒x∊B)] ⇔ ∀_x ~(x∊A ∧ x∉B) ⇔ ~∃_x (x∊A ∧ x∉B) ⇔ ~∃_x x∊A\B ⇔ ∀_x ~x∊(A\B) ⇔ A\B=∅ A⊂B ⇔ ∀_x [ x∊A ⇒ x∊B ] x∊A∪B ⇔ x∊A ∨ x∊B ⇒ x∊B ∨ x∊B ⇔ x∊B czyli A∪B ⊂ B to, że B⊂A∪B nie wymaga chyba dowodu, ale jeżeli to jest banalny x∊B ⇒ p(dowolne) ∨ x∊B ⇒ x∊A ∨x∊B ⇔ x∊A∪B A∪B ⊂ B ∧ B⊂A∪B ⇔ A∪B = B A⊂B ⇔ ∀_x [ x∊A ⇒ x∊B] przypuśćmy, że A∩B≠A ⇔ ∃_x [ x∊A ∧ x∉A∩B ] ⇔ ∃_x [ x∊A ∧ ~(x∊A ∧ x∊B) ] ⇔ ∃_x [ x∊A ∧ ( x∉A ∨ x∉B) ] ⇔ ∃_x [ (x∊A ∧ x∉A) ∨ (x∊A ∧ x∉B) ] ⇔ ∃_x [ 0 ∨ (x∊A ∧ x∉B) ] ⇔ ∃_x (x∊A ∧ ~x∊B) ⇔ ∃_x ~(x∊A ⇒x∊B) sprzeczność z założeniem czyli przypuszczenie fałszywe, czyli A∩B = A

marek: Dziekuje bardzo , )))

marek: Jeszcze gdyby mi mogla wytlumaczy z czego skorzystalas w drugim w drugiej linijce jak to(zbior a zawiera sie w b z definicji) zamienilas na x∊A∪B i dlaczego x∊ A ∨ x∊b ⇒ x∊B ∨ x∊B