Ciągi funkcyjne Raf: Sprawdzić zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego (f_n)(x)=xarctg(nx), x>0

Raf: f(x)=xπ/2 Jak znaleźć supremum po x>0 |xarctg(nx)−xπ/2| dla ustalonego n?

Raf: Czy wystarczy policzyć pochodną, która wygląda tak arctg(nx)−π/2−nx/(1+n²x²) i stwierdzić, że będzie ona mniejsza od 0 (bo arctg czegokolwiek −π/2 jest ujemny i jeszcze jak odejmiemy coś dodatniego (bo x>0) to tym bardziej będzie ujemne) więc będzie malejący więc funkcja, której supremum chcemy znaleźć, będzie malejąca więc największą wartość ma najbardziej po lewej stronie czyli w x=0 Jak się policzy lim x−>0⁺ to wychodzi po prostu 0 tak więc jest zbieżność jednostajna? Proszę o sprawdzenie

Raf: Eta, sprawdzisz mi? spac nie pójdę

Trivial: f_n(x) = x*arctg(nx), x > 0. Zbieżność punktowa.

	πx
fn → f, f(x) =		.
	2

Zbadajmy zbieżność jednostajną. ||f_n − f|| = sup_x>0|f_n(x) − f(x)| = sup_x>0|x*arctg(nx) − ^π₂x| = sup_x>0 x[^π₂−arctg(nx)] = sup_x>0 u_n(x).

dun		π		nx
	=		− arctg(nx) −
dx		2		1+(nx)2

	dun
Można pokazać, że dla x>0 mamy		≥ 0 (dowód niżej), a zatem funkcja un(x) jest słabo
	dx

rosnąca i osiąga swoje supremum w nieskończoności. Zatem:

	π2−arctg(nx)
||fn − f|| = limx→∞ un(x) = limx→∞		=H=
	1x

	nx2		1		1
= limx→∞		= limx→∞		=		→ 0.
	1+(nx)2		1   +n nx2		n

Zatem mamy zbieżność jednostajną.

	dun
Dowód		≥ 0
	dx

	dun		π		z
Niech		= v(z) =		− arctg(z) −		gdzie z = nx.
	dx		2		1+z2

dv		1		1		2z2		2
	= −		−		+		= −		< 0 ∀z∊R
dz		1+z2		1+z2		(1+z2)2		(1+z2)2

Czyli funkcja v ma kres dolny w nieskończoności (nie musi go osiągać). lim_z→∞ v(z) = 0 ≥ 0

	dun
Skąd		≥ 0.
	dx

Raf: Dzięki! pomyliłem się w module na samym początku