Wielomiany - naprowadzenie Maciek: Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić co zrobić? Wiedząc, że x1=1 i x2=4 są pierwiastkami równania x⁴−8x³+9x²+38x−40=0, znaleźć pozostałe pierwiastki

Piotr 10: Można, np tak (x−1)(x−4)(x²+cx+d)=x⁴−8x³+9x²+38x+40 Korzystałem z postaci iloczynowej. Kiedy wielomiany są równe? lub można, tak Jeżeli x₁=1 jest pierwiastkiem to znaczy, że (x−1) dzieli się przez ten wielomian

Maciek: Właśnie doszedłem do tego, że moge to podzielić Dziekuje i tak

Piotr 10: I teraz wykonaj dzielenie przez (x−1) otrzymasz wielomian trzeciego stopnia. Podzielisz go znowu przez (x−4) i otrzymasz funkcje kwadratową Ten wielomian będzie miał maksymalnie 4 pierwiastki w zbiorze liczb rzeczywistych

PuRXUTM: jeżeli x1,x2 są pierwiastkami tego wielomianu to ten wielomian dzieli się przez (x−1)(x−4) czyli wielomian ten można zapisać tak x⁴−8x³+9x²+38x−40=(x−1)(x−4)*P(x) P(x) − jakiś tam wielomian stopnia drugiego podziel wielomian x⁴−8x³+9x²+38x−40 pisemnie przez (x−1)(x−4) i znajdziesz pozostałe pierwiastki

ICSP: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 8 x₁*x₂*x₃*x₄ = −40 x₁ = 1 oraz x₂ = 4 stąd : x₃ + x₄ = 3 x₃ * x₄ = −10 a to sa wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego. Czyli x₃ oraz x₄ będą rozwiazaniami równania : x² − 3x − 10 = 0 ⇒ x = −2 v x = 5 i to są właśnie dwa pozostałe pierwiastki wielomianu

Piotr 10: Hehe wzory Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia